【高考题一题多解】2023-甲卷理-12 单-椭圆中线定理

📌【题干】

（2023年甲卷理）设  为坐标原点， 为椭圆  的两个焦点，点  在  上，，则  ()

A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D. 

🔍【思路分析】

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1. 提取椭圆基本量：由方程可知 ，从而计算 ．

2. 方法一（中线定理，最快）：

• 在  中， 是底边  的中线。

• 利用中线定理：．

• 结合椭圆定义  和余弦定理求出  的值。

3. 方法二（焦点三角形面积公式）：

• 利用二级结论  求出面积。

• 通过面积公式  求出点  的纵坐标 ，进而求出 。

4. 方法三（极化恒等式）

✍【详细解析】

[!abstract]

1. 确定基本量：

由椭圆方程  得：

；

；

．

焦点为 ，焦距 ．

2. 求解边长平方和（利用定义与余弦定理）：

设 ，，．

• 根据椭圆定义：．

  两边平方得： ①．

• 在  中，由余弦定理：

   ②．

• 联立 ① ② 消去 ：

  由 ① 得 ，代入 ②：

  ．

3. 利用中线定理求解：

在  中， 为  的中点，故  为中线．

根据中线定理（阿波罗尼斯定理）：

．

所以 ．

结论：

对应选项 B 正确．

方法三：极化恒等式

椭圆中：所以

焦点为

因此

设

椭圆定义给出：

在三角形  中，由余弦定理：

代入又所以

于是

由极化恒等式：

因此

选择 B。