【几何最值】-09二次函数线段和、差最值问题
【题型1】线段和最小问题
1. 如图，抛物线
经过A(-1,0)，C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接AH、DH，求AH+DH的最小值.
2. 如图1，抛物线
与x轴交于B，C(-2，0两点，与y轴交于点A，顶点坐标为
.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点Q是抛物线对称轴
上一点，当AQ+CQ的值最小时，求出点Q的坐标及AQ+CQ的最小值；
(3)如图2，若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求
的最大值及此时点P的坐标.
3. 如图，抛物线
经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【题型2】线段差最大问题
4. 已知，在平面直角坐标系内，抛物线
交x轴于4，B两点，交y轴于点C，且A(-1，0)，B(3,0).
(1)求抛物线与直线AC的解析式；
(2)点P在抛物线的对称轴上，且使得
的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线1，交抛物线于点M，N，若△PMN的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；
(3)在(2)的条件下，已知点D是线段AC上(不含端点A，C)的一个动点，过点D作直线DE∥AB，交直线1于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，求线段DF的最小值.
5. 如图，已知直线
与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线
与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段0A=0B.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使
的值最大，求点M的坐标.
6. 如图，已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、点B.抛物线过A，B两点.P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.
(1)若抛物线的顶点M的坐标为
，其对称轴交AB于点N.
①求抛物线的解析式.
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使
的值最大，试求出点Q的坐标
③是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形?若存在，求出此时点P的坐标.
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△A0B相似?若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.
【几何最值】-10二次函数的周长最值问题
无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”，基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.
解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.
1. 如图，抛物线
轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使△PAC的周长最小，求△PAC的周长的最小值及此时点P的坐标;
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB的面积的最大值及此时点M的坐标.
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线
与抛物线
交于A(8,6)，B两点，点B的横坐标为-2.
(1)求直线AB和抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连接PO，设点P的横坐标为m：
①若点P在x轴上方，当m为何值时，△POC是等腰三角形;
②若点P在x轴下方，设△POC的周长为p，求p关于m的函数关系式，当m为何值时，△POC的周长最大，最大值是多少?
3. 如图，在平面直角坐标系中,抛物线
与直线AB交于点A(0,-4),B（4,0）.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使△AHG的周长最小，求此时点G的坐标.
(3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求
的最大值及此时点P的坐标.
4. 如图，已知抛物线
的对称轴为直线
,与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线
与该抛物线的另一个交点为N(-1,1).
(1)求抛物线的解析式.
(2)求△QMN的面积.
(3)在x轴上确定一点P，使△PMN的周长最小，并求出此时△PMN的面积.
