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★ 2027 中考数学 · 压轴题每日一题 ★第 4 题 矩形框住抛物线四条边逐个筛 ＋ 分段函数 ＋「交点到底在不在边上」九年级 ｜ 建议用时 30 分钟 ｜ 难度 ★★★★☆前三题的最后一步都是「找一个点」：找最值点、找直角顶点、找中位线的端点。这一题换了个问法。
它先给你一个点 P，再顺着 P 拉出一个矩形，然后把问题变成：这个矩形的四条边，和抛物线交了几个点？这些点的纵坐标加起来是多少？
听懂这句话，你就知道难在哪了——不是难在算，是难在判断。四条边，每条都可能和抛物线相交，但交点未必落在「边」上，它可能落在边的延长线上。你多算一个，f 就错了；少算一个，f 也错了。
所以这题真正考的是「看着图，把每条边过一遍」的习惯。这个习惯一旦练成，这类题就变成了体力活。
矩形与抛物线交点分段函数平移分类讨论
【2026 · 湖北】抛物线 y ＝ x² − 2x ＋ c 与 x 轴交于点 A（−1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C。点 P 在直线 BC 上，设点 P 的横坐标为 t。（1）求 c 的值；（2）如图 1，点 H 是抛物线上位于第四象限的点，PH 平行于 x 轴。当 t ＝ 1 时，求点 H 的坐标；（3）点 Q 在直线 BC 上且位于点 P 的右上方，PQ ＝ 2√2。过点 P、Q 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，四条垂线围成四边形 PEQF。若四边形 PEQF 的边与抛物线有两个交点 M、N，记 M、N 的纵坐标之和为 f。① 当点 P 在线段 BC 上时，求 f 关于 t 的函数解析式；② 当 f ＝ −11/2 时，直接写出 t 的值。
图 1 抛物线 y ＝ x² − 2x ＋ c 过 A（−1，0），与 y 轴交于 C；直线 BC 的斜率为 1，P 在这条直线上滑动题目说的是「过 P、Q 分别作 x 轴和 y 轴的垂线」，听着绕。翻译一下就很朴素：
P 在直线 BC 上，横坐标 t，所以P（t，t − 3）。Q 在 P 的右上方，PQ ＝ 2√2，而 BC 的方向是「横竖各走 1」，所以 PQ 的方向就是「横竖各走 2」，即Q（t ＋ 2，t − 1）。四条垂线就是四条直线：x ＝ t，x ＝ t ＋ 2，y ＝ t − 3，y ＝ t − 1。它们围成的四边形，就是一个边长为 2 的正方形（题目叫它 PEQF），四个顶点依次是P（t，t − 3）、E（t ＋ 2，t − 3）、Q（t ＋ 2，t − 1）、F（t，t − 1）。所以「边与抛物线有两个交点」这句话，可以拆成四句人话：
竖线 x ＝ t 上有吗？竖线 x ＝ t ＋ 2 上有吗？横线 y ＝ t − 3 上有吗？横线 y ＝ t − 1 上有吗？四条都问一遍，把落在边上的点留下，其余丢掉。
为什么 Q 的坐标是（t ＋ 2，t − 1）？因为 BC 的斜率是 1，PQ 沿 BC 方向，长度 2√2。沿 45° 方向走 2√2，就是横向走 2、纵向也走 2。这是「斜率为 1」这条线最好用的性质。思路点拨：只有一个未知数，一个已知点，代进去就完了。解法一（直接代入）
把 A（−1，0）代入 y ＝ x² − 2x ＋ c：0 ＝ 1 ＋ 2 ＋ c，得c ＝ −3。所以 y ＝ x² − 2x − 3 ＝ （x − 1）² − 4，顶点（1，−4）。令 y ＝ 0：x² − 2x − 3 ＝ 0，（x ＋ 1）（x − 3）＝ 0，所以B（3，0），C（0，−3）。解法二（用两根之积）
抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标是方程 x² − 2x ＋ c ＝ 0 的两根，由根与系数的关系，两根之积等于 c。一根是 −1，另一根是 B 的横坐标，所以 c ＝ −1 × xB。再代 A 得 c ＝ −3，于是 xB＝ 3。这个解法多绕一步，但它顺手把 B 的横坐标也拿出来了。顺带把直线 BC 写出来：过 C（0，−3）、B（3，0），斜率 ＝ （0 ＋ 3）÷（3 − 0）＝ 1，所以BC：y ＝ x − 3。这就是后面所有点的活动轨道。
思路点拨：PH 平行于 x 轴，意思就是P 和 H 的纵坐标相等。先把 P 的纵坐标算出来，再拿它去抛物线里找横坐标。解法一（代入解方程）
t ＝ 1 时，P（1，−2）。PH ∥ x 轴 ⟹ H 的纵坐标也是 −2。令 x² − 2x − 3 ＝ −2，即 x² − 2x − 1 ＝ 0，解得x ＝ 1 ± √2。H 在第四象限，需要 x ＞ 0、y ＜ 0：1 ＋ √2 ≈ 2.41 ＞ 0，符合；1 − √2 ≈ −0.41 ＜ 0，不符合（那是第三象限的点）。所以H（1 ＋ √2，−2）。解法二（用顶点式，看得更清楚）
y ＝ （x − 1）² − 4。令 （x − 1）² − 4 ＝ −2，得 （x − 1）² ＝ 2，即 x − 1 ＝ ±√2。对称轴是 x ＝ 1，所以两个横坐标关于 x ＝ 1 对称：1 ＋ √2 和 1 − √2。一个在对称轴右侧（第四象限），一个在左侧（第三象限）。取右边的那个。
图 2 P（1，−2）在 BC 上，PH 是一条水平线；它与抛物线交于两点，只有右边那个落在第四象限这里最容易错：只写 H（1 ＋ √2，−2），不说为什么舍掉 1 − √2。阅卷老师要看的正是这句「第四象限」的坐标符号判断。题目给了象限，就是在提醒你舍根。思路点拨：四条边一条一条问。每条边先算出「抛物线与这条直线」的交点，再看这个交点是不是真的落在这条边的两个端点之间。先把需要的两个公式备好。
竖线 x ＝ x₀与抛物线交于（x₀，x₀² − 2x₀ − 3），只有一个交点。横线 y ＝ y₀与抛物线交于x ＝ 1 ± √(y₀ ＋ 4)（要求 y₀ ≥ −4），一般有两个。现在逐条过。P 在线段 BC 上，所以0 ≤ t ≤ 3。
边① 竖线 x ＝ t（左边）
交点纵坐标 ＝ t² − 2t − 3。这条边的范围是从 P（t，t − 3）到 F（t，t − 1）。比较：（t² − 2t − 3）− （t − 3）＝ t² − 3t ＝t（t − 3）≤ 0（因为 0 ≤ t ≤ 3）。也就是说，交点落在 P 的下方，不在边上。几何上怎么理解？P 在弦 BC 上，抛物线开口向上，在 C、B 之间曲线整段落在弦的下方。P 的正下方这一段竖线上，本来就没有曲线。边② 竖线 x ＝ t ＋ 2（右边）
交点纵坐标 ＝ （t ＋ 1）² − 4 ＝ t² ＋ 2t − 3。这条边的范围是从 E（t ＋ 2，t − 3）到 Q（t ＋ 2，t − 1）。与下端 E 比：（t² ＋ 2t − 3）− （t − 3）＝ t² ＋ t ≥ 0，恒在 E 上方，这一头没问题。与上端 Q 比：（t² ＋ 2t − 3）− （t − 1）＝ t² ＋ t − 2 ＝ （t ＋ 2）（t − 1）。要 ≤ 0，需要t ≤ 1。所以：0 ≤ t ≤ 1 时，右边与抛物线有一个交点；t ＞ 1 时，交点跑到 Q 的上方去了，不算。
图 3 t 在 0 到 1 之间（这里取 t ＝ 0.6）：右边 x ＝ t ＋ 2 被曲线穿过一次（M），下边 y ＝ t − 3 也被穿过一次（N）边③ 横线 y ＝ t − 1（上边）
令 x² − 2x − 3 ＝ t − 1，即 x² − 2x − （t ＋ 2）＝ 0，x ＝ 1 ± √(t ＋ 3)。这条边的范围是 x 从 t 到 t ＋ 2。左交点1 − √(t ＋ 3)：t ＝ 0 时就已经是 1 − √3 ≈ −0.73 ＜ 0 ＝ t，t 更大时更靠左，所以恒在矩形外。右交点1 ＋ √(t ＋ 3)：它 ≥ t 是恒成立的；它 ≤ t ＋ 2 ⟺ √(t ＋ 3) ≤ t ＋ 1 ⟺ t ＋ 3 ≤ t² ＋ 2t ＋ 1 ⟺ t² ＋ t − 2 ≥ 0 ⟺t ≥ 1。所以：t ≥ 1 时，上边有一个交点；t ＜ 1 时没有。边④ 横线 y ＝ t − 3（下边）
令 x² − 2x − 3 ＝ t − 3，即 x² − 2x − t ＝ 0，x ＝ 1 ± √(1 ＋ t)。左交点1 − √(1 ＋ t) ＜ t（t ＞ 0 时；t ＝ 0 时正好等于 0，就是 P、C 重合的那一点），所以在矩形外。右交点1 ＋ √(1 ＋ t)：≥ t ⟺ √(1 ＋ t) ≥ t − 1，t ≤ 1 时显然成立，t ＞ 1 时平方得 1 ＋ t ≥ t² − 2t ＋ 1，即 t² − 3t ≤ 0，在 0 ≤ t ≤ 3 内成立；≤ t ＋ 2 ⟺ √(1 ＋ t) ≤ t ＋ 1，两边平方即 t² ＋ t ≥ 0，恒成立。所以：下边永远有一个交点。四条边问完了，结果很清楚：
左边 x ＝ t
有几个交点：0
条件：恒无（交点落在 P 下方）
右边 x ＝ t ＋ 2
有几个交点：1
条件：0 ≤ t ≤ 1
上边 y ＝ t − 1
有几个交点：1
条件：t ≥ 1
于是恰好分成两段，每段都正好两个交点——这既解释了「为什么题目说有两个交点」，也说明了分界点就是 t ＝ 1。
图 4 t 大于 1（这里取 t ＝ 2）：矩形整块抬到了 x 轴附近，曲线改从上边 M 和下边 N 穿进去，右边已经够不着了第一段 0 ≤ t ≤ 1：交点来自「右边」和「下边」。
右边交点纵坐标：（t ＋ 1）² − 4 ＝ t² ＋ 2t − 3下边交点纵坐标：t − 3相加：f ＝ （t² ＋ 2t − 3）＋ （t − 3）＝t² ＋ 3t − 6第二段 1 ≤ t ≤ 3：交点来自「上边」和「下边」。
上边交点纵坐标：t − 1下边交点纵坐标：t − 3相加：f ＝ （t − 1）＋ （t − 3）＝2t − 4答案f ＝ t² ＋ 3t − 6 （0 ≤ t ≤ 1）f ＝ 2t − 4 （1 ≤ t ≤ 3）检验一下接头：t ＝ 1 时，第一段给 1 ＋ 3 − 6 ＝ −2，第二段给 2 − 4 ＝ −2，对得上，说明分段没有跳空。
这类分段题，一定要代端点验一次。两段在分界点对不上，十有八九是某条边的范围判断写反了。「直接写出」意味着只要答案，但过程不能乱：两段各解一次，每次都要回到那一段的取值范围里检验。
当 0 ≤ t ≤ 1：t² ＋ 3t − 6 ＝ −11/2两边乘 2：2t² ＋ 6t − 12 ＝ −11，即2t² ＋ 6t − 1 ＝ 0t ＝ （−6 ± √(36 ＋ 8)）÷ 4 ＝ （−3 ± √11）÷ 2（−3 ＋ √11）÷ 2 ≈ 0.158，落在 ［0，1］ 内，要；（−3 − √11）÷ 2 ≈ −3.16，不在范围内，舍。当 1 ≤ t ≤ 3：2t − 4 ＝ −11/2，得 2t ＝ −3/2，t ＝ −3/4，不在 ［1，3］ 内，无解。所以t ＝ （√11 − 3）÷ 2。别漏了这一步：很多人算出 t ＝ （−3 ± √11）÷ 2 就把两个都写上。负根代回原式确实让 f ＝ −11/2，但那时 P 已经在线段 BC 的延长线上了，不满足「P 在线段 BC 上」的前提。（1）求 c
解法：直接代入
核心动作：把点坐标代进解析式
什么时候用：最省事，首选
（1）求 B
解法：因式分解
核心动作：x² − 2x − 3 ＝ （x ＋ 1）（x − 3）
什么时候用：已知一根，另一根直接看出来
（2）求 H
解法：代入 ＋ 解方程
核心动作：y 相同 ⟹ 解 x² − 2x − 1 ＝ 0
什么时候用：通法
（2）求 H
解法：顶点式 ＋ 对称性
核心动作：（x − 1）² ＝ 2
什么时候用：能立刻看出两解关于对称轴对称
（3）① 定位
解法：代数比较
核心动作：交点纵坐标与边的端点比大小
什么时候用：最稳，不会漏
（3）① 定位
解法：看图 ＋ 弦下方
核心动作：P 在弦上，曲线在弦下方
什么时候用：判断「左边为什么没有」时最快
把这道题剥到底，剩下的动作只有三个。换成任何一条抛物线、任何一个矩形，都是这三步。
①写直线：把「垂线」「平行线」翻译成 x ＝ 常数、y ＝ 常数②求交点：竖线直接代入；横线化成 x² ＋ bx ＋ c ＝ d 再解③筛范围：把交点的另一个坐标，和这条边的两个端点比大小过 P 作 x 轴的垂线
翻译成什么：直线 x ＝ t
用什么工具：设点
过 Q 作 y 轴的垂线
翻译成什么：直线 y ＝ t − 1
用什么工具：先算 Q 的坐标
PQ ＝ 2√2，方向沿 BC
翻译成什么：Q 比 P 横竖各多 2
用什么工具：斜率为 1 的 45° 性质
边与抛物线有两个交点
翻译成什么：四条边里正好两条有交点
用什么工具：逐条判断
纵坐标之和为 f
翻译成什么：两个纵坐标相加
用什么工具：分段整理
最容易忽略的是第③步。求交点谁都会，筛范围才是这题的分水岭。下次遇到「线段与抛物线有几个交点」，先别急着列方程，先问一句：交点的另一个坐标，落在端点的哪一边？
四条边全算
错解：把每条边的交点都加起来，得出 3 个或 4 个点
正解：只有落在边上的才算，先筛再加
漏掉横线的另一个交点
错解：只写 1 ＋ √(t ＋ 3)
正解：横线一般有两个交点，两个都要判断位置
分段点搞错
错解：把分界写成 t ＝ 0 或 t ＝ 3
正解：右边在 t ＝ 1 失效、上边在 t ＝ 1 生效
解完不验范围
错解：f ＝ −11/2 写出两个 t
正解：每段的根都要回到该段的区间里检验
Q 的坐标写错
错解：写成 Q（t ＋ 2，t ＋ 1）之类
正解：沿 y ＝ x − 3 走，横坐标加 2 纵坐标也加 2
以为 P 在抛物线上
错解：把 P 的坐标代进抛物线
正解：P 在直线 BC 上，不在抛物线上
第一题换一条开口向上的抛物线，让你把「筛范围」再走一遍；第二题换了系数，分界点会跑到别处去——正好检验你是不是真的在判断，而不是在背答案。
同类题 1（换抛物线）抛物线 y ＝ ½x² ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A（−2，0），与 y 轴交于 C（0，−4），与 x 轴的另一个交点为 B，且直线 BC 的斜率为 1。（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在直线 BC 上，横坐标为 t。点 H 在抛物线上且 PH ∥ x 轴，当 t ＝ 2 时，求第四象限的点 H 的坐标；（3）点 Q 在直线 BC 上且在 P 的右上方，PQ ＝ 2√2，四条垂线围成正方形 PEQF。当 P 在线段 BC 上时，求边与抛物线的两个交点的纵坐标之和 f 关于 t 的解析式；并求 f ＝ −6 时 t 的值。同类题 2（换系数，分界点会变）抛物线 y ＝ ½x² ＋ bx ＋ c 经过 A（−2，0）、C（0，−3），与 x 轴的另一个交点为 B（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在直线 BC 上，横坐标为 t。点 H 在抛物线上且 PH ∥ x 轴，当 t ＝ 2 时，求第四象限的点 H 的坐标；（3）同上构造正方形 PEQF，求 f 关于 t 的解析式（P 在线段 BC 上），并求 f ＝ −3 时 t 的值。本题答案
（1）c ＝ −3，y ＝ x² − 2x − 3，B（3，0），C（0，−3）。（2）H（1 ＋ √2，−2）。（3）①f ＝ t² ＋ 3t − 6（0 ≤ t ≤ 1）；f ＝ 2t − 4（1 ≤ t ≤ 3）；②t ＝ （√11 − 3）÷ 2。同类题 1
（1）抛物线过 C（0，−4），所以 c ＝ −4。设 y ＝ ½x² ＋ bx − 4，过 A（−2，0）：2 − 2b − 4 ＝ 0，得 b ＝ −1。所以y ＝ ½x² − x − 4，即 y ＝ ½（x − 1）² − 9/2。令 y ＝ 0：x² − 2x − 8 ＝ 0，得 x ＝ 4 或 −2，所以B（4，0）。BC 的斜率 ＝（0 ＋ 4）÷（4 − 0）＝ 1 ✓，BC：y ＝ x − 4。（2）t ＝ 2 时 P（2，−2），PH ∥ x 轴 ⟹ H 的纵坐标 −2。½（x − 1）² − 9/2 ＝ −2 ⟹ （x − 1）² ＝ 5 ⟹ x ＝ 1 ± √5。第四象限要 x ＞ 0，取 x ＝ 1 ＋ √5，所以H（1 ＋ √5，−2）。（3）Q（t ＋ 2，t − 2），正方形顶点 P（t，t − 4）、E（t ＋ 2，t − 4）、Q（t ＋ 2，t − 2）、F（t，t − 2），0 ≤ t ≤ 4。左边 x ＝ t：交点纵坐标 ½t² − t − 4，与 t − 4 比较得 ½t（t − 4）≤ 0，在 P 下方，无交点。右边 x ＝ t ＋ 2：纵坐标 ½t² ＋ t − 4。与下端比 ½t² ≥ 0 成立；与上端比 ½t² ＋ t − 4 ≤ t − 2 ⟺ ½t² ≤ 2 ⟺t ≤ 2。上边 y ＝ t − 2：½x² − x − 4 ＝ t − 2 ⟹ x² − 2x − （4 ＋ 2t）＝ 0，x ＝ 1 ± √(5 ＋ 2t)。左根在矩形外；右根 ≤ t ＋ 2 ⟺ 5 ＋ 2t ≤ t² ＋ 2t ＋ 1 ⟺t ≥ 2。下边 y ＝ t − 4：x² − 2x − 2t ＝ 0，x ＝ 1 ± √(1 ＋ 2t)，右根恒在矩形内（1 ＋ 2t ≤ （t ＋ 1）² 恒成立）。所以 0 ≤ t ≤ 2 时：f ＝ （½t² ＋ t − 4）＋ （t − 4）＝½t² ＋ 2t − 8；2 ≤ t ≤ 4 时：f ＝ （t − 2）＋ （t − 4）＝2t − 6。f ＝ −6：第一段 ½t² ＋ 2t − 8 ＝ −6 ⟹ t² ＋ 4t − 4 ＝ 0 ⟹ t ＝ −2 ± 2√2，取t ＝ 2√2 − 2（≈ 0.83，在范围内）；第二段 2t − 6 ＝ −6 ⟹ t ＝ 0，不在范围内，舍。所以t ＝ 2√2 − 2。同类题 2
（1）设 y ＝ ½x² ＋ bx ＋ c，过 C（0，−3）得 c ＝ −3；过 B（3，0）：9/2 ＋ 3b − 3 ＝ 0，得 b ＝ −1/2。所以y ＝ ½x² − ½x − 3，即 y ＝ ½（x² − x − 6）＝ ½（x − 3）（x ＋ 2），A（−2，0）✓。BC：斜率 ＝（0 ＋ 3）÷（3 − 0）＝ 1，y ＝ x − 3。（2）t ＝ 2 时 P（2，−1），H 的纵坐标 −1。½x² − ½x − 3 ＝ −1 ⟹ x² − x − 4 ＝ 0 ⟹ x ＝ （1 ± √17）÷ 2。第四象限取 x ＝ （1 ＋ √17）÷ 2 ≈ 2.56，所以H（（1 ＋ √17）÷ 2，−1）。（3）正方形 P（t，t − 3）、E（t ＋ 2，t − 3）、Q（t ＋ 2，t − 1）、F（t，t − 1），0 ≤ t ≤ 3。左边 x ＝ t：纵坐标 ½t² − ½t − 3，与 t − 3 比较得 ½t（t − 3）≤ 0，无交点。右边 x ＝ t ＋ 2：纵坐标 ½t² ＋ 3t/2 − 2。与上端比 ≤ t − 1 ⟺ ½t² ＋ t/2 − 1 ≤ 0 ⟺ t² ＋ t − 2 ≤ 0 ⟺t ≤ 1。上边 y ＝ t − 1：x² − x − （4 ＋ 2t）＝ 0，x ＝ ［1 ± √(17 ＋ 8t)］÷ 2；右根 ≤ t ＋ 2 ⟺ √(17 ＋ 8t) ≤ 2t ＋ 3 ⟺ 17 ＋ 8t ≤ 4t² ＋ 12t ＋ 9 ⟺ 4t² ＋ 4t − 8 ≥ 0 ⟺t ≥ 1。下边 y ＝ t − 3：x² − x − 2t ＝ 0，右根恒在矩形内。所以 0 ≤ t ≤ 1 时：f ＝ （½t² ＋ 3t/2 − 2）＋ （t − 3）＝½t² ＋ 5t/2 − 5；1 ≤ t ≤ 3 时：f ＝ （t − 1）＋ （t − 3）＝2t − 4。f ＝ −3：第一段 ½t² ＋ 5t/2 − 5 ＝ −3 ⟹ t² ＋ 5t − 4 ＝ 0 ⟹ t ＝ （−5 ± √41）÷ 2，取t ＝ （√41 − 5）÷ 2（≈ 0.70，在范围内）；第二段 2t − 4 ＝ −3 ⟹ t ＝ 1/2，不在范围内，舍。所以t ＝ （√41 − 5）÷ 2。写在最后这道题的答案写出来不算漂亮：一段二次、一段一次，还得带个范围。但它值钱的地方不在答案，在「筛」这个动作。四条边，一条一条问「你有没有交点、交点落没落在你身上」。这个动作做熟了，遇到「线段与抛物线有几个交点」「矩形与抛物线围成几个区域」这类题，你都不会慌，因为你已经有了一套不问灵感、只问坐标的流程。最后提醒一句：分段函数的接头一定要代端点验一次。两段在分界点对不上，八成是某条边的范围写反了——这是本题唯一值得检查的地方。明天第 5 题：抛物线与坐标系里的定点、定直线打配合，最后一步是「加权线段和」——看着像胡不归，其实要先把系数拆开。觉得有用，点个「赞」和「在看」，明天继续
往期内容
#初中数学#中考#中考压轴#二次函数#中考最后一道题#初中数学二次函数难题突破
