高考篇 | 数学好玩

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学习数学对有些人来说是刀山火海、苦不堪言，对另一些来说是平平淡淡、不温不火，而还有一部分人对数学却是趣味盎然、甘之如饴。著名数学家陈省身曾说：“数学好玩！”要想玩好数学，首先要找到数学的好玩之处。

从小学拿起铅笔算加减乘除，到初中盯着平面几何冥思苦想，再到高中面对圆锥曲线奋笔疾书，你和数学相处差不多十年了。你发现了哪些好玩之处？你在哪些时刻感受到了学数学纯粹的快乐？

当那条辅助线如闪电划破迷雾，让纷乱的图形骤然有序；当那步巧妙的换元，将复杂的式子化繁为简——你发自内心的快乐，哪里是考试分数足以概括的？

当然，学好数学需要的不只是一腔热血。多少人满怀热情地提笔计算解析几何，却因为方法不当，算得过于复杂，遗憾落笔；多少人埋头苦干刷完了高考导数压轴题，下次做导数却还是没有思路...

学好数学需要一种提炼能力，提炼模型，提炼思维，做一道题，会一类题。

很多时候，我们需要一种深入思考的能力，做题时思考这几个问题：怎么做？为什么要这样做？还有没有别的做法？还有没有别的问题？

即使是简单的内容也可以引发有深度的思考——如果你觉得教材上的题太简单，不妨看看“阅读与思考”，多提出问题，尝试解决，比如必修一第250页关于声音与三角函数的讲述，有函数

y= sinx+½sin2x+⅓sin3x+ . . .，

你可以思考：如果一直加到⅟ₙsinnx，这个函数在(0, π)上是非负的吗？这就变成了成都三诊多选题最难的一个选项，而它来源于教材。

即使是最困难的内容也来源于常见的思想——2025年新高考2卷压轴题，其实是一种递推的思想，这种用前一项表示后一项，用已知表示未知的思想在很多题中都有所体现，如果遇到它们时能有进一步的思考，掌握了递推的内功心法，面对压轴题也可以轻松下手。

那么，如何提炼模型？我建议记笔记，我记笔记的原则是：自己想不到的就记下来。如果有一个知识点，能马上反应出来，或是一道题一眼就能看出方法，那就没必要记。

如果有不能马上推导出的定理，或是自己不容易想到方法的题目（错题和做对的题都有），还有难想到的好方法，都记下来。知识、定理（一定要有严格证明）、题目（一题多解）都可以记下来。

至于二级结论，其实没有那么重要，重要的是推导它们的过程，老子曰：“少则多，多则惑。”这句话再恰当不过了，如果掌握少量的基本原理与核心思想，可以推导出大量的结论；如果光顾着背一大堆二级结论，反而难以灵活使用，不能解决问题。

如何提炼思维？相比于提炼模型，提炼思维要求更高，这要求在记笔记时，还要记下思路，比如参考答案中最喜欢用“注意到”一词，给出一些看似莫名其妙的操作，如果深入思考一下为什么这样做，并将其批注在过程旁边，这道题的思维就进入了你的大脑；如果只写下这道题的过程而不清楚怎么想到这样做，下次遇到时还是可能想不到。

在平时发现问题，解决问题，提炼思维，最终得到的笔记本会是艺术一样的存在，是同学们智慧的结晶。比如我在高二时了解到极点极线的原理，证明了相关的二级结论，高三时在扶优班进一步学到调和点列、调和线束的性质。

和yc同学交流，使用调和线束证明了美丽的蝴蝶定理，从hzh同学那里学到了蝴蝶定理的几何证明，在wzr丰富的资料中学到了二次曲线系这个非常有创意的思想。

因此，功夫在平时，每个人做的题是一样的（卷王除外），但有的人做一道题，忘一道题；有的人做一道题，会一类题。行文至此，一首小诗不得不吟：

抓住原理不放松，

立根原在定义中。

千题未刷还坚劲，

无问西东南北风。

这首诗的第三句本来是“千题万刷”，后来决定改成“千题未刷”。题是永远做不完的，但即便如此，我们掌握了基本原理，心中蕴含着核心思想，就自然能解决无穷多的问题。无问西东，自成芳华！