来源：2021年新课标全国I卷·第22题（压轴题改编）
考点：三角函数求导、含参不等式、单调性讨论
分值：12分
建议用时：15-18分钟
难度：⭐⭐⭐⭐
题目
已知函数f(x)=sinx-x+ax³（a∈R）。
（1）当a=1/6时，求f(x)在(0,π/2)上的单调性；
（2）若f(x)≥0对任意x∈(0,π/2)恒成立，求a的取值范围。
手写区
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解析
第（1）问：当a=1/6时，判断单调性
第一步：求导
f(x)=sinx-x+(1/6)x³
f'(x)=cosx-1+(1/2)x²
第二步：判断f'(x)的符号
直接判断f'(x)的符号不容易，考虑求二阶导数。
f''(x)=-sinx+x
第三步：分析f''(x)的符号
当x∈(0,π/2)时，sinx<x（这是基本不等式）。
所以f''(x)=x-sinx>0。
因此f'(x)在(0,π/2)上单调递增。
第四步：求f'(x)的最小值
f'(0)=cos0-1+0=0。
因为f'(x)单调递增，所以当x>0时，f'(x)>f'(0)=0。
所以f'(x)>0在(0,π/2)上恒成立。
第五步：结论
f(x)在(0,π/2)上单调递增。
第（1）问答案：f(x)在(0,π/2)上单调递增。
第（2）问：求a的取值范围
第一步：转化条件
f(x)≥0对任意x∈(0,π/2)恒成立。
即sinx-x+ax³≥0对任意x∈(0,π/2)恒成立。
第二步：分离参数
因为x³>0（x>0），两边同除以x³：
a≥(x-sinx)/x³。
令g(x)=(x-sinx)/x³，问题转化为a≥g(x)对任意x∈(0,π/2)恒成立，即a要大于等于g(x)的最大值。
第三步：研究g(x)的单调性
g'(x)=[(1-cosx)·x³-(x-sinx)·3x²]/x⁶
=[(1-cosx)x-3(x-sinx)]/x⁴
令分子为h(x)=x(1-cosx)-3(x-sinx)=x-xcosx-3x+3sinx=-2x-xcosx+3sinx。
h'(x)=-2-(cosx-xsinx)+3cosx=-2-cosx+xsinx+3cosx=-2+2cosx+xsinx。
h''(x)=-2sinx+sinx+xcosx=-sinx+xcosx。
当x∈(0,π/2)时，tanx>x（基本不等式），所以xcosx<sinx，即h''(x)=-sinx+xcosx<0。
所以h'(x)在(0,π/2)上单调递减。
h'(0)=-2+2+0=0。
所以当x>0时，h'(x)<h'(0)=0。
所以h(x)在(0,π/2)上单调递减。
h(0)=0。
所以当x>0时，h(x)<h(0)=0。
因此g'(x)=h(x)/x⁴<0，g(x)在(0,π/2)上单调递减。
第四步：求g(x)的最大值
g(x)在(0,π/2)上单调递减，所以最大值在x→0⁺时取得。
用泰勒展开估算：sinx≈x-x³/6+x⁵/120。
x-sinx≈x³/6-x⁵/120。
g(x)=(x-sinx)/x³≈1/6-x²/120。
当x→0⁺时，g(x)→1/6。
所以g(x)的最大值为1/6（取极限值，但g(x)<1/6对任意x>0）。
第五步：确定a的范围
因为a≥g(x)恒成立，且g(x)<1/6，所以a≥1/6。
当a=1/6时，由第（1）问，f(x)在(0,π/2)上递增，且f(0)=0，所以f(x)>0，满足条件。
第（2）问答案：a≥1/6。
易错点提醒
第一个坑：第（1）问直接判断f'(x)的符号时卡住。
f'(x)=cosx-1+(1/2)x²的符号不容易直接判断，需要求二阶导数。很多同学在这里卡住，不知道该求二阶导。
第二个坑：第（2）问分离参数时不等号方向搞反。
由sinx-x+ax³≥0得ax³≥x-sinx，两边同除以x³（x>0），得到a≥(x-sinx)/x³，不是a≤。
第三个坑：g'(x)的导数计算错误。
g(x)=(x-sinx)/x³，求导时需要用商的导数公式，分子分母都要仔细算。
第四个坑：求g(x)的最大值时忘记用极限。
g(x)在(0,π/2)上单调递减，最大值在x→0⁺时取得，需要用极限或泰勒展开来求。直接代入x=0会得到0/0型，需要特别处理。
真题规律总结
2021新高考I卷的压轴题是“三角与导数结合”的经典考法。第（1）问通过二阶导数判断单调性，第（2）问通过分离参数和极限求最值。
关键得分点：第（1）问的求导、二阶导数、单调性判断；第（2）问的分离参数、构造函数、求导、单调性分析、极限求最值。
备考建议：三角与导数结合的题，核心是“求导后判断符号”。如果一阶导数符号不容易判断，就求二阶导数。分离参数后构造函数求最值是固定套路，最后求极限时可以用泰勒展开或洛必达法则。
