【导读】
已知平面上三个点 (x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)，它们围成的三角形面积。
你听过"鞋带公式"吗？
名字独特，公式老长，下标一堆：
S = 1/2 · |x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁ − x₁y₃ − x₂y₁ − x₃y₂|
背得清楚吗？考试敢用吗？
还是老老实实用割补法吧。
割补法：简单，但有点慢
已知△ABC三个顶点坐标是 A(1,1)、B(4,2)、C(3,5)，求 S△ABC。
画一个外接矩形，横坐标从 1 到 4，宽 3；
纵坐标从 1 到 5，高 4，矩形面积是 12。
然后减去外面三个直角三角形，答案是 5。
从找矩形边界、算长宽、算三个三角形、连减三次。
一道题至少五六步，慢，易错。
有没有更快的好方法？
平移-交叉相乘法：割补法的"极速版"
割补法之所以步骤多，是因为三个顶点分散在坐标平面各个位置。
思路：如果先平移图形，把其中一个顶点平移到原点，再用割补法呢？
平移不改变图形形状，面积当然不变，但计算会简单很多。
还是刚才那道题，如果把 A(1,1) 平移到原点，也就是所有点的横纵坐标都减去 1：
平移前：A(1,1)、B(4,2)、C(3,5)
平移后：A(0,0)、B(3,1)、C(2,4)
公式是怎么来的？（看着图直接推）
为了方便推导，我们设 B(a,b)，C(c,d)，不妨设 a > c，d > b（即 B 在 C 的右下方，图与坐标对应）。
现在，我们用"割补法"直接来算这个新三角形的面积：
画外接矩形：矩形面积 = ad
减去周围的三个直角三角形：
左上角（以 AC 为斜边）： 1/2 · cd 右下角（以 AB 为斜边）： 1/2 · ab 右上角（以 BC 为斜边）： 1/2 · (a−c)(d−b) 代数相减：
S△ABC = ad − 1/2 · cd − 1/2 · ab − 1/2 · (a−c)(d−b)
化简：
S = 1/2 · (ad − bc)
因为点的坐标有正负，所以求面积要加个绝对值，这就得到了终极公式：
S = 1/2 · |ad − bc|
用公式代入，三步秒杀
现在，我们把 A(0,0)、B(3,1) 和 C(2,4) 的具体数值代入公式中。
这里的 a=3，b=1，c=2，d=4。
S = 1/2 · |3×4 − 2×1|
S = 1/2 · |12 − 2|
S = 5
写在最后
所谓"平移-交叉相乘"，就是在基础方法上多推一步，得到一个更快的工具。
回到"鞋带公式"，它本质上也是用割补法推导出来的面积公式，但结构繁琐，在考场上的实用价值就很低了。
熟练度加上思考度，合起来就是你的思维能力。
你来秒杀一道题
三角形三个顶点是 A(2,3)、B(5,1)、C(4,6)，求三角形面积。
第一步：平移图形，其中一个点到原点。
A(0,0)，B(3,−2)，C(2,3)
第二步：代入公式。
S = 1/2 · |3×3 − 2×(−2)|
S = 1/2 · |9 + 4|
S = 13/2
你拿割补法再算一遍，看看快了多少！
