本册一共5个单元：三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解、分式
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
1. 三角形三边关系（必考）
三角形任意两边之和＞第三边；任意两边之差＜第三边。
✅判断三条线段能否组成三角形：只需要检验较短两条边之和＞最长边。
例：3，4，6：3+4＞6，可以组成三角形。
已知两边长a、b，第三边x范围：\boldsymbol{|a-b| < x < a+b}
2. 三角形的高、中线、角平分线
- 高：从顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间线段。
锐角三角形：三条高都在内部；直角三角形两条高就是直角边；钝角三角形两条高在外部。
- 中线：顶点到对边中点，一条中线把三角形分成面积相等的2部分，三条中线交于重心。
- 角平分线：平分内角，到角两边距离相等；三条角平分线交于内心。
3. 三角形稳定性：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
11.2 与三角形有关的角
1. 三角形内角和定理：三角形内角和 = \boldsymbol{180^\circ}
2. 直角三角形：两个锐角互余（相加=90^\circ）；反过来，两锐角互余的三角形是直角三角形。
3. 三角形外角
- 外角 = 和它不相邻的两个内角之和（高频考点）
- 外角＞任意一个不相邻的内角；三角形外角和=360^\circ
11.3 多边形及其内角和
1. n边形内角和公式：\boldsymbol{(n-2)\times180^\circ}
2. 多边形外角和：任意多边形外角和恒等于360^\circ，和边数无关
3. 对角线：n边形从一个顶点可引(n-3)条对角线；总对角线公式：\dfrac{n(n-3)}{2}
4. 正多边形：各边相等，各内角相等。
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
1. 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，符号：\boldsymbol{\cong}
书写注意：对应顶点写在对应位置，\triangle ABC\cong\triangle DEF，A对D，B对E，C对F
2. 性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；周长、面积也相等。
12.2 三角形全等判定（重中之重）
✅5种判定方法：
1. SSS（边边边）：三边对应相等，两三角形全等
2. SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等（⚠️必须是夹角！SSA不能证全等）
3. ASA（角边角）：两角和夹边对应相等
4. AAS（角角边）：两角和其中一角的对边相等
5. HL（斜边直角边）：只适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等
❗易错提醒：AAA、SSA不能判定三角形全等
12.3 角的平分线的性质
1. 角平分线性质：角平分线上的点，到角两边距离相等
2. 角平分线判定：在角内部，到角两边距离相等的点，一定在角平分线上。
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
1. 轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两边完全重合（如等腰三角形、圆）
2. 两个图形成轴对称：两个图形沿直线折叠后重合
区别：轴对称图形是1个图形；成轴对称是2个图形
3. 垂直平分线（中垂线）
- 定义：经过线段中点，并且垂直这条线段的直线
- 性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等
- 判定：到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上
4. 坐标中的对称（必背）
点P(x,y)
- 关于x轴对称：\boldsymbol{(x,-y)}，x不变，y变相反数
- 关于y轴对称：\boldsymbol{(-x,y)}，y不变，x变相反数
13.2 画轴对称图形
利用坐标对称规律画图，最短路径问题：将军饮马模型（作对称点，两点之间线段最短）
13.3 等腰三角形
1. 等腰三角形性质：
① 等边对等角：两腰相等 → 两个底角相等
② 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高，是同一条直线（大题高频）
2. 等腰三角形判定：等角对等边（两个角相等，对边相等）
3. 等边三角形
- 性质：三边相等，三个内角都是\boldsymbol{60^\circ}
- 判定：三边相等；三角相等；有一个角是60^\circ的等腰三角形
4. 含30°直角三角形定理：
直角三角形，如果一个锐角=30^\circ，它所对的直角边 = 斜边的一半（非常常用）
13.4 课题学习 最短路径问题
将军饮马：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点，线段长度就是最短距离。
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
幂的运算（基础，一定要熟记）
1. 同底数幂相乘：\boldsymbol{a^m\cdot a^n=a^{m+n}} 底数不变，指数相加
2. 幂的乘方：\boldsymbol{(a^m)^n=a^{mn}} 底数不变，指数相乘
3. 积的乘方：\boldsymbol{(ab)^n=a^nb^n}
4. 同底数幂相除：\boldsymbol{a^m\div a^n=a^{m-n}} \quad(a\neq0)
5. 零指数幂：\boldsymbol{a^0=1\quad(a\neq0)}；0的0次幂无意义
整式乘法
1. 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘
2. 单项式×多项式：分配律 a(m+n)=am+an
3. 多项式×多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
两个乘法公式【全书核心】
1. 平方差公式：\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}
口诀：同平方，减反平方
2. 完全平方公式
(a+b)^2=\boldsymbol{a^2+2ab+b^2}
(a-b)^2=\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}
⚠️易错：(a\pm b)^2 \ne a^2\pm b^2，中间一定有2ab！
14.2 乘法公式（巩固平方差、完全平方）
14.3 因式分解（和整式乘法互为逆运算）
定义：把多项式化成几个整式乘积形式。
✅因式分解步骤口诀：一提，二套，三检查
1. 提公因式法：先提取各项最大公因式
例：ax+ay = a(x+y)
2. 公式法
- 平方差：a^2-b^2=(a+b)(a-b)
- 完全平方：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2；a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
分解结果必须分到不能再分解为止。
第十五章 分式
15.1 分式
1. 分式定义：形如\boldsymbol{\dfrac{A}{B}}（A、B整式，B含字母，B\neq0）
- 分式有意义：分母\boldsymbol{B\neq0}
- 分式值=0：分子A=0，同时分母B≠0（高频坑！不能忘记分母不为0）
2. 分式基本性质：
\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot C}=\dfrac{A\div C}{B\div C}\quad(C\neq0)，分子分母同乘/除不为0的整式，分式值不变。
约分、通分的依据就是分式基本性质。
15.2 分式的运算
1. 乘除：
乘法：\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}
除法：\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}（颠倒相乘）
2. 加减
同分母：\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}
异分母：先通分，变成同分母再加减 \boldsymbol{\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}}
3. 负整数指数幂：a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a\neq0)
15.3 分式方程
1. 定义：分母含有未知数的方程叫分式方程
2. 解法步骤：
①去分母，化成整式方程；②解整式方程；③检验（必不可少！）
检验：把解代入最简公分母，如果最简公分母=0，这个根是增根，原方程无解。
3. 应用题：行程、工程问题，分式方程应用题最后也要写检验。
📌本册高频易错汇总
1. 全等证明：SSA不能证全等，书写对应顶点要对齐
2. 等腰三角形：分类讨论腰和底，还要满足三边关系；三线合一只能用于等腰三角形
3. 完全平方公式：经常漏掉2ab
4. 分式为0：必须保证分母不等于0
5. 分式方程一定要检验，增根问题是考试难点
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四季读书网
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