2026新高考Ⅰ卷数学第18题精讲,17分这样拿(附完整解析)

一、真题呈现

已知椭圆 C : x²/a² + y²/b² = 1 (a>b>0) 的左焦点为 F(−1,0)，离心率为 1/2。

(1) 求 C 的方程；

(2) 设 O 为坐标原点，过 F 且斜率大于 0 的动直线 l 与 C 交于 P、Q 两点，其中 Q 在第三象限，直线 PO 与 C 的另一个交点为 R。

(i) 若 △PQR 的面积是 △PFO 的面积的 3 倍，求 l 的方程；

(ii) 求 tan∠PQR 的最小值。

二、命题定位：先搞清这道题在考什么

三、第(1)问：基础必拿分（约3分钟）

得分要点：这一步是送分，但必须写出推导式，直接写答案会扣步骤分。

由左焦点 F(−1,0) 得 c = 1；

由 e = c/a = 1/2，得 a = 2；

由 b² = a² − c² = 4 − 1 = 3。

∴ C : x²/4 + y²/3 = 1

四、第(2)问：全题的“钥匙”在哪？

先别急着算，花30秒把图画出来。你会发现一个决定性的隐含条件：

五、(2)(i) 精讲：面积比 → 线段比 → 斜率

第一步：把面积比翻译成坐标关系（关键转化）

设 P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)，由 y₁·y₂ < 0 且 Q 在第三象限知 y₁ > 0 > y₂，即 P、Q 在 x 轴两侧，F 在线段 PQ 之间。

由 R(−x₁,−y₁)，用坐标面积公式：

S_△PQR = ½|x₁(y₂−y_R) + x₂(y_R−y₁) + x_R(y₁−y₂)| = |y₁ − y₂|

S_△PFO = ½|y₁|

于是：

S_△PQR / S_△PFO = 2|y₁ − y₂| / |y₁| = 2(1 − y₂/y₁) = 3  ⟹  y₁ = −2y₂

第二步：设线联立（横截式，避开斜率讨论）

设 l : x = my − 1 (m > 0)，与椭圆联立：

(3m² + 4)y² − 6my − 9 = 0

由韦达定理：

y₁ + y₂ = 6m / (3m² + 4)，  y₁·y₂ = −9 / (3m² + 4)

第三步：代入 y₁ = −2y₂ 解出 m

(y₁ + y₂)² / (y₁·y₂) = (−y₂)² / (−2y₂²) = −1/2

即 36m² / (3m² + 4)² · (3m² + 4) / (−9) = −4m² / (3m² + 4) = −1/2

解得 m² = 4/5，又 m > 0，故 m = 2√5/5。

∴ l : x = (2√5/5)y − 1，即 √5·x − 2y + √5 = 0

六、(2)(ii) 精讲：夹角最值，真正的分水岭

第一步：认出这个角是什么

∠PQR 即直线 QP 与直线 QR 的夹角。设 k_QP = k (k > 0)。

第二步：用一个“隐藏结论”秒算斜率积

第三步：夹角公式 + 基本不等式

tan∠PQR = (k − k_QR) / (1 + k·k_QR) = (k + 3/(4k)) / (1 − 3/4) = 4k + 3/k

由基本不等式：

4k + 3/k ≥ 2√(4k · 3/k) = 4√3

当且仅当 4k = 3/k，即 k = √3/2（此时 m = 2√3/3 > 0，满足题意）时取等号。

∴ tan∠PQR 的最小值为 4√3。

七、这道题给你上的三堂课

这道题难不在 "算"，而在 "看"。动笔前多花 10 秒，看清 P、Q、R 的对称结构，面积和夹角两问的计算量直接砍半 —— 这是今年第 18 题最值得带走的一个习惯。本文配图由 AI 辅助生成，仅作示意图。

下一篇，拆第 19 题（函数新定义压轴）：130 分与 140 分的差距，就在那道题的第三问。