初二几何|看到角平分线加垂线,就要想到用这种辅助线

四季读书网 2026-10-16 07:29:20 11 0

刚整理完孩子的课堂错题，新鲜出炉一道全等经典题，考试很爱考，家里有初二娃娃们可以收藏练一练

孩子做全等证明题，最怕的就是画辅助线。明明全等定理背得滚瓜烂熟，可看到图就无从下手，不知道该往哪里添线。

今天这道就是作业本上刚做完的原题，条件看着简单，要证明二倍的线段关系，很多同学会卡壳。

题目：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，并且交CD的延长线于点E。求证：CD和BE的数量关系？

不少孩子读完题会疑惑，一个长线段、一个短线段，该怎么证明这个数量关系呢？猜测一下答案:可能是二倍的关系吧（这是我家娃的解题思路:先猜结论，再顺着结论去证明。）

记住一个非常好用的几何模型口诀：角平分线 + 垂线，延长垂线出等腰。

只要题目同时出现这两个条件，优先把这条垂线向后延长，这就是这道题的突破口。

辅助线做法：延长BE，交CA的延长线于点F。

第一步证△BEC≌△FEC。

CD是角平分线，所以∠BCE=∠FCE；

BE垂直CD，∠BEC=∠FEC=90°；还有公共边EC。

用ASA可以判定两个三角形全等，得到BE=FE，也就是BF=2BE。

到这里，我们就把较短的BE扩大两倍，转化成线段BF，现在只需要证明BF=CD就完成了。

第二步证△ABF≌△ACD。

∠BAC=90°，所以∠BAF=90°。

利用同角的余角相等，可以推出∠ABF=∠ACD。

已知AB=AC，结合∠BAF=∠CAD=90°，ASA证得△ABF≌△ACD，得到BF=CD。

经过等量代换，最终得到CD=2BE。

很多学生学几何，只顾刷题，不总结模型。这道题核心不是背答案，而是记住这个信号：

只要看见：角平分线，外面还搭着一条垂直于角平分线的线段，直接延长这条垂线。

延长之后凭空生成等腰三角形，短线段直接翻倍，二倍线段难题瞬间就打通。

提醒家里孩子，做题时不要拿到就埋头写，先观察图里有没有“角平分线+垂线”这个组合信号。模型不是死记硬背，是给我们提示辅助线该画在哪里。

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文章来源：四季读书网