第3天·2023新高考I卷·含参单调性讨论

四季读书网 2026-10-12 05:59:34 15 0

来源：2023年新课标全国I卷·第19题（解答题）

　　考点：含参函数单调性讨论、极值点判断

　　分值：12分

　　建议用时：12-15分钟

　　难度：⭐⭐⭐

　　题目

　　已知函数f(x)=x³-3ax+2（a∈R）。

　　（1）若a=1，求f(x)的极值；

　　（2）讨论f(x)的单调性。

　　手写区

　　（请先独立完成，再往下翻看解析）

　　解析

　　第（1）问：当a=1时，求极值

　　第一步：代入a=1，求导

　　f(x)=x³-3x+2

　　f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)

　　第二步：令f'(x)=0，解出x

　　3(x-1)(x+1)=0

　　x=1或x=-1

　　第三步：列表分析符号

　　当x<-1时，f'(x)>0，f(x)递增。

　　当-1<x<1时，f'(x)<0，f(x)递减。

　　当x>1时，f'(x)>0，f(x)递增。

　　第四步：计算极值

　　极大值点x=-1，极大值f(-1)=(-1)³-3(-1)+2=-1+3+2=4。

　　极小值点x=1，极小值f(1)=1³-3×1+2=1-3+2=0。

　　第（1）问答案：极大值为4，极小值为0。

　　第（2）问：讨论单调性

　　第一步：求导

　　f'(x)=3x²-3a=3(x²-a)

　　第二步：分类讨论a的取值

　　因为f'(x)的符号由x²-a决定，需要分a≤0和a>0两种情况。

　　情况一：a≤0

　　当a≤0时，x²-a=x²+|a|>0恒成立（因为x²≥0，|a|≥0，且不同时为0）。

　　所以f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增。

　　情况二：a>0

　　令f'(x)=0，得x²=a，即x=±√a。

　　当x<-√a时，x²>a，f'(x)>0，f(x)递增。

　　当-√a<x<√a时，x²<a，f'(x)<0，f(x)递减。

　　当x>√a时，x²>a，f'(x)>0，f(x)递增。

　　所以f(x)在(-∞,-√a)上递增，在(-√a,√a)上递减，在(√a,+∞)上递增。

　　第（2）问结论：

　　当a≤0时，f(x)在R上单调递增。

　　当a>0时，f(x)在(-∞,-√a)上递增，在(-√a,√a)上递减，在(√a,+∞)上递增。

　　易错点提醒

　　第一个坑：第（1）问忘记判断极大还是极小。

　　算出f(-1)=4和f(1)=0后，必须通过列表或导数符号变化来说明x=-1是极大值点，x=1是极小值点。不能只写“极值为4和0”。

　　第二个坑：第（2）问忘记讨论a≤0。

　　很多同学直接令f'(x)=0得x=±√a，默认a>0。但a≤0时，x²-a>0恒成立，函数单调递增，这是另一种情况，不能漏。

　　第三个坑：a>0时单调区间写反。

　　f'(x)=3(x²-a)，当x²>a时f'(x)>0（递增），当x²<a时f'(x)<0（递减）。

　　所以增区间是(-∞,-√a)和(√a,+∞)，减区间是(-√a,√a)。不要写反。

　　第四个坑：单调区间写成并集。

　　(-∞,-√a)∪(√a,+∞)是两个独立的增区间，不能写成并集形式，因为中间有递减的部分。必须分开写。

　　真题规律总结

　　2023新高考I卷的导数题是“含参单调性讨论”的经典模板。这类题的核心是：求导→令导数为0→判断根是否存在→分情况讨论。

　　关键得分点：第（1）问的定义域（本题为R）、求导、列表、极值；第（2）问的分类讨论（a≤0和a>0）、单调区间的正确书写。

　　备考建议：含参单调性讨论是导数大题的第一问常客，必须练到“看到参数就知道怎么分类”。分类的标准是“导数为0的方程是否有实根”以及“实根是否在定义域内”。

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