前两问是地基，三个数要带进第三问。作 AH⊥BC，∠C=45°，等腰直角一作，AH=CH=4，BH=2，勾股得 AB=2√5。E 三等分 AB，BE=2√5/3。E 向 BC 作垂线，垂足 G，用∠B 的三角比，BG=2/3，EG=4/3。然后是全场最重要的结构：E、F 两端向 BC 作垂线，一线三直角，等腰给全等，DM=EG=4/3，FM=GD。D 在 BC 上怎么动，这组全等永远在。
第三问先分类。△DFC 的直角顶点只可能在 C 或 F。要是∠FDC=90°，DF 垂直 BC，DE 就得平行 BC，E 不在 BC 上，矛盾，一句排除。剩两种。
情况一，∠FCD=90°。FC 垂直 BC，F 的垂足就是 C，M 和 C 重合，全等直接读数：CD=DM=EG=4/3，CF=FM=GD。BD=6-4/3=14/3，回推 GD=BD-BG=4。勾股：DE²=EG²+DG²=16/9+16，DE=4√10/3。
还差一步，DP 为什么等于 DE·sin45°？得先证 △DPE 是等腰直角。∠DEP=45° 是现成的，P 在射线 EF 上。两个45°把圆凑出来：∠PCD=45°，P 在 AC 上，永远成立；∠PFD=45°，这一情况 P 落在 E、F 之间。同弦 PD 同侧等角，P、C、D、F 四点共圆。圆内接四边形对角互补，∠FPD=180°-90°=90°，DP 垂直 EF，∠DPE=90°，齐了。DP=DE·sin45°=4√5/3。
情况二，∠CFD=90°。FM 是 Rt△FDC 斜边 DC 上的高，射影定理：FM²=DM·CM，也就是 GD²=(4/3)·CM。设 BD=a，GD=a-2/3，CM=(3/4)(a-2/3)²。BC 四段加起来：2/3+(a-2/3)+4/3+CM=6，整理得 (3/4)(a-2/3)²=14/3-a。展开，一次项正好抵掉，a²=52/9，a=2√13/3，负根舍。CD=6-2√13/3。
∠PCD=45° 照旧，这一次 P 越过了 F，∠PFD=135°，两个角加起来 180°，对角互补，四点共圆照样成立。同弧 DC，圆周角相等，∠DPC=∠DFC=90°。再搭一个现成的 45°：∠DCP=∠ACB=45°，△DPC 等腰直角，DP=CD·sin45°=3√2-√26/3。
两种情况的拆解导图放在这里，关键步骤做了处理，路径看得清，结论自己填。
两个答案，4√5/3 和 3√2-√26/3。∠PCD=45° 是全场最值钱的一个角，P 在 AC 上它就成立，两种情况的四点共圆都靠它凑出来。这类直接写的题，卷面上只写答案，草稿上得走完三件事：把不可能的分类排掉，把每个情况的位置定死，把看着显然的直角验证掉。跳过验证，答案对了自己都不敢信。
我是胡雨东，拆了近十年上海中考数学压轴题。初三这一年，陪你拆着
