1. 核心公式
若 a＞0，b＞0，则：
a＋b ≥ 2√(ab)
当且仅当 a＝b 时，等号成立。
2. 高考必考三原则（解题灵魂）
一正、二定、三相等
1. 一正：参与运算的所有式子必须为正数；
2. 二定：求和最值需积为定值，求积最值需和为定值；
3. 三相等：必须验证等号可取，变量符合定义域。
3. 高考四大必考解题体系
基本不等式90%高考真题，只分为四类：直接套用、变形运用、“1”的妙用、逆向运用。
二、方法一：直接套用（基础送分题型）
方法核心
式子天然满足「正数+和/积为定值」，无需改造公式，直接代入基本不等式求解。
高考真题【2020·天津卷】
已知 a＞0，b＞0，且 ab＝1，则 a＋2b 的最小值为________。
详细解析
由题意可知 a、b 均为正数，乘积 ab＝1 为定值，符合使用条件：
a＋2b ≥ 2√(a·2b)＝2√(2ab)
代入 ab＝1，得 a＋2b ≥ 2√2。
等号成立条件：a＝2b，联立 ab＝1，解得 a＝√2，b＝√2/2，符合正数条件。
答案：2√2
三、方法二：变形运用（高考高频重难点）
大部分题目无法直接套用公式，需要通过配凑、分子分离、换元构造、因式分解等方法改造式子，人为造出“和定/积定”结构，包含四大核心技巧。
技巧1：配凑法（凑常数、凑定值）
方法核心
针对带一次常数、定义域受限的式子，通过加减常数配凑出可以均值的整体，制造定值。
高考真题【2019·上海卷】
若 x＞2，则 f(x)＝x＋1/(x−2) 的最小值是____。
详细解析
由 x＞2 得 x−2＞0，对式子配凑变形：
f(x)＝(x−2)＋1/(x−2)＋2
由基本不等式：
(x−2)＋1/(x−2) ≥ 2√[(x−2)·1/(x−2)]＝2
因此 f(x) ≥ 2＋2＝4。
等号成立条件：x−2＝1/(x−2)，即 x＝3，符合定义域。
答案：4
技巧2：分离变形（拆分分子，必考分式题型）
适用场景
分式型函数，分子次数高于分母、分子为多项式，无法直接均值，通过拆分分子，分离出常数，构造出“积为定值”的两组式子。
核心思路
复杂分式 = 常数 + 可均值的正反分式，消除多余变量，形成定值结构。
经典例题1
若 4x＞y＞0，求 y/(4x−y)＋x/y 的最小值。
详细解析
对复杂分子 x 拆分变形：
x＝1/4·[(4x−y)＋y]
代入分式得：
x/y＝(4x−y)/(4y)＋1/4
原式整体变形为：
y/(4x−y)＋(4x−y)/(4y)＋1/4
由 4x＞y＞0，可知所有项均为正数，利用均值不等式：
y/(4x−y)＋(4x−y)/(4y) ≥ 2√{ [y/(4x−y)]·[(4x−y)/(4y)] }＝1
原式最小值为 1＋1/4＝5/4。
等号成立条件：3y＝4x，符合题意。
经典例题2（高考高频题型）
已知 x＞1，求 y＝x²/(x−1) 的最小值。
详细解析
拆分二次分子，分离常数：
x²＝(x−1)(x＋1)＋1
y＝[(x−1)(x＋1)＋1]/(x−1)＝x＋1＋1/(x−1)
二次配凑定值：
y＝(x−1)＋1/(x−1)＋2
由 x＞1 得 x−1＞0，故 (x−1)＋1/(x−1) ≥2。
原式最小值为 4，x＝2 时取等。
技巧3：构造分母/换元法（复杂分母专用）
适用场景
分母为复杂一次多项式（如 2x＋1、3y＋2），直接计算繁琐，将整体分母打包换元，简化结构，转化为熟悉的“1的代换”题型。
经典例题
已知正实数 x，y 满足 4x＋3y＝4，求 1/(2x＋1)＋1/(3y＋2) 的最小值。
详细解析
1. 换元简化分母：令 a＝2x＋1，b＝3y＋2（a＞1，b＞2）
2. 转化已知条件：由 4x＋3y＝4，代入得到 2a＋b＝8
3. 题型转化：已知 2a＋b＝8，求 1/a＋1/b 最小值
4. 归一计算：
1/a＋1/b＝1/8·(2a＋b)(1/a＋1/b)
＝1/8·(3＋2a/b＋b/a) ≥ (3＋2√2)/8
技巧4：因式分解变形
方法核心
针对含有 xy、x、y 的整式等式，通过因式分解凑出「两式乘积为定值」，再整体换元求和最值。
高考真题【2018·江苏卷】
已知 x＞0，y＞0，且 xy＋2x＋y＝4，则 x＋y 的最小值为____。
详细解析
对条件式因式分解：(x＋1)(y＋2)＝6
对目标式配凑：x＋y＝(x＋1)＋(y＋2)−3
由均值不等式：
(x＋1)＋(y＋2) ≥ 2√[(x＋1)(y＋2)]＝2√6
故 x＋y ≥ 2√6−3。
答案：2√6−3
四、方法三：“1”的妙用（高考TOP1必考题型）
方法核心
已知「整式和为定值」，求「分式和最值」的专属方法。
核心操作：乘1不变性，将定值等式整体乘入分式，展开后构造可均值的倒数结构。
高考真题【2021·新高考I卷】
已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，则 1/a＋1/b 的最小值是________。
详细解析
利用 a＋b＝1 乘式变形：
1/a＋1/b＝(a＋b)(1/a＋1/b)＝2＋b/a＋a/b
由均值不等式：b/a＋a/b ≥2
原式最小值为 4，a＝b＝1/2 时取等。
答案：4
进阶真题【2022·浙江卷】
若 x＞0，y＞0，且 2x＋y＝1，求 1/x＋2/y 最小值。
解析：
1/x＋2/y＝(2x＋y)(1/x＋2/y)＝4＋y/x＋4x/y ≥8
最小值为 8
当且仅当 y=2x 联立2x+y=1，解得x =1/4，y=1/2时，取等号
方法核心
正向：定和求积、定积求和；
逆向：已知等式约束，反向求最值、参数范围。
利用基本不等式建立不等式方程，解出目标变量取值范围。
高考真题【2017·山东卷】
已知 x＞0，y＞0，x＋2y＋xy＝6，则 xy 的最大值为____。
详细解析
由基本不等式得和式范围：x＋2y ≥2√(2xy)
代入条件式：6 ≥ 2√(2xy)＋xy
令 t＝√(xy)（t＞0），转化为一元二次不等式：
t²＋2√2·t−6 ≤0
解得 0＜t ≤√2，平方得到 xy ≤2。
x＝2，y＝1 时等号成立。
答案：2
六、四大方法考场速记&触发条件
1. 直接套用：式子规整、正数明确、积/和天然为定值，无脑代入公式；
2. 变形运用（最万能）：式子不规整，通过配凑、拆分子、换元、因式分解造定值；
3.“ 1”的妙用：条件为整式和=常数，目标为分式和最值，必用乘1代换；
4. 逆向运用：已知等式约束，求乘积最值、参数范围，构造不等式求解。
七、高考高频避坑指南
1. 忽略一正：负数、负分式绝对不能直接用基本不等式；
2. 强行求值无定值：未配凑、未变形直接计算，90%会出错；
3. 忘记验证等号：算出最值后，务必检验变量是否在定义域内；
4. 复杂分式不拆分：分子高次、分母复杂，优先分离变形或换元简化。
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四季读书网
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