上海初三 | 讲题实录:翻折求正切有几种答案?多数孩子只写出一种

题目

在△ABC中，AB=AC，，点 D 为边 BC 上的点，连接 AD。将△ABC沿 AD 翻折，点 B 落在平面内点 E 处，边 AE 交边 BC 于点 F，连接 CE。如果 AF=3FE，那么  的值为______。

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今天这道题，是一道几何综合题：一个等腰三角形，沿一条线翻折，要求一个角的正切值。

它最让人发怵的地方是——题面从头到尾，没给一个长度数据。边长、三角函数值，全都要自己设出来。

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一、没有数据，就先设线段长

拿到三角比，第一件事永远是把角“放进直角三角形里”。这是一个等腰三角形，底边上的高正好平分顶角（三线合一），所以我们从顶点 A 向 BC 作高，垂足记为 H。

题目一个数据都没给，那就自己设：设 AH = 3。由 ，在 Rt△AHC 中立刻得到 HC = 4；再由勾股定理，AB = AC = 5。

这里还要先记住一件事：D 是一个动点，理论上它可以从 B 一路走到 C，所以后面要多留一个心眼——会不会有不止一种情形。

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二、翻折送来的第一个不变量

翻折最大的好处，是送你一份“不变量”：对应线段相等。点 B 翻折到点 E，那么 AB 的长度原封不动地翻到了 AE 上，所以 AE = AB = 5。

题目又给了 AF = 3FE——也就是 AE 被 F 分成“上面三份、下面一份”。于是

上面那一段 AF 就算出来了。

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三、解直角三角形，抓住 3-4-5 的影子

现在 F 到 BC 的垂线 AH 有了，AF 也知道了，Rt△AFH 里两条边齐全，用勾股就能求出 FH：

于是

老师在这里停了一下，说对数据要敏感：

也就是说，tan∠FAH 恰好就是这组 3-4-5 的“原味”正切值。而 AB = AC 又告诉我们 ∠B = ∠C，所以 tan∠B = tanC，于是

也就是 ∠FAH = ∠B。

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四、翻折再送一个等角，把目标角搬进直角三角形

翻折除了给等长线段，还会给等角：点 B 与点 E 对应，所以 ∠DEA = ∠B；而前面刚得到 ∠FAH = ∠B，于是 ∠DEA = ∠FAH。

又因为 F 在 AE 上，∠FAH 其实就是 ∠EAH，所以 ∠DEA = ∠EAH（内错角），从而 DE ∥ AH。而 AH 是 BC 的垂线，所以 DE ⊥ BC。

这一步一打通，目标角 ∠BCE 就“掉”进了一个直角三角形里——D、C 都在 BC 上，DE ⊥ BC，所以 ∠BCE 落在 Rt△DCE 中。接下来只要把 DE 和 DC 两条直角边求出来就行。

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五、一组相似，把 BD 求出来

看 △AFH 和 △EFD：∠AHF 和 ∠EDF 都是直角，∠AFH 和 ∠EFD 是对顶角，所以 △AFH ∽ △EFD。它们的相似比就是斜边之比 AF : FE = 3，对应过来也就是 AH : DE = 3。既然 AH = 3，就有 DE = 1。

别忘了翻折：DE = BD = 1。而 BC = BH + HC = 4 + 4 = 8，所以 DC = 8 − 1 = 7。

两条直角边都齐了——

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六、这两步之外，还有别的路子

老师没有停在这一种做法上，又顺手给了两条岔路。

一是“反八字”相似：△ADF 与 △CEF 是一对 8 字形（对顶角）相似，于是 ∠DCE = ∠DAF——把目标角“搬”到上面去求；再用三角形内角平分线定理求出 BD，最后在 △ABD 里用“边角边”解出 tan∠BAD。

二是超纲的和角公式：这种题用两角和的正切去算，反而是纯计算、不用动脑筋。记目标角为 α，配合已知角，有

两次用和角公式就能算出结果。

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七、动点别忘了第二种情形

开头说过 D 是动点。F 除了可能落在 BH 上，也可能落到 HC 上——这就是第二种情形。

这时由 △DFE ∽ △AFC 可以推出 △ADF ∽ △ECF；再利用 ∠B = ∠HAF，以及 ∠B + ∠BAH = ∠HAF + ∠BAH = 90°，得到 ∠BAF = 90°。这时折痕 AD 正好平分 ∠BAE，于是 ∠BCE = 45°。

所以这道题在“AF = 3FE”的条件下其实有两种落点，对应两个不同的答案；其中与板书一致的那一个（第一情形）就是主答案。

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小结

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「原创感谢」SY石老师

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