硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答黎曼和：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，且。求证：，使得。

证明设满足，则。在处泰勒展开：

代入：

代入：

若，则，于是； 若，则，于是。 故。

题3（16分）积分证明

设在连续，。证明：至少存在两个不同点，使得。

证明令，则。分部积分：

得到。 令，则。罗尔定理：。 于是。两次罗尔定理：；，。证毕。

题4（16分）函数项级数

讨论级数在上的一致收敛性。

解答记。 求导：，临界点。

发散，M判别法失效。 取点列，，通项不能一致趋于0。级数在不一致收敛。 补充：对任意，级数在一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入原方程：

题6（16分）平面曲线积分

：上半椭圆，从到。

解答

补直线段，构成逆时针闭合曲线。格林公式：

上：，积分。

题7（16分）曲面积分

：锥面，取下侧。

解答补，取上侧。为闭合曲面内侧。高斯公式：

柱坐标：

上侧：

2017卷特点小结

1. 题2次多项式黎曼和；题2最小值条件泰勒展开；
2. 题3十七次幂积分条件证明两个零点；
3. 题4求上确界，点列检验不一致收敛；
4. 题5二阶偏微分方程变量替换；题6格林公式计算上半椭圆第二类曲线积分；题7锥面补圆盘高斯公式。

著名行列式不等式

记号

• 矩阵记号

• 行列式记号

• 矩阵的转置矩阵记为

• 矩阵的共轭矩阵记为

• ,

• 表示的逆矩阵

• 表示矩阵的秩即矩阵中最高阶非零子式的阶数

• 表示矩阵的迹即主对角元素之和

• 表示的特征值即的特征方程的根

• 表示的奇异值即

• 称为 的谱半径

• 如果方阵满足,称为酉矩阵

• 如果,称为正规矩阵

• 如果的每行、每列元素之和均为1，称为双随机矩阵

• 阶方阵的积和式定义为

其中求和bian'ji

• 矩阵的Kronecker积也称为克罗内克积定义,是任意大小矩阵的运算，使用符号其表示为：若为大小的矩阵，为大小的矩阵，则与的克罗内克积是一个大小为的矩阵，其表述为：

• 矩阵的Khatri-Rao积,Khatri-Rao积的定义是两个具有相同列数的矩阵与矩阵的对应列向量的克罗内克积排列而成的，其生成的矩阵大小为，其表示为：

• 矩阵的Hadamard积：是矩阵的一种乘积运算，对同等大小的两个矩阵相同位置上进行乘积。其表达为：

特殊矩阵

• 矩阵满足,称为对称矩阵。

• 如果实对称矩阵的特征值均大于0（非负），称为正定矩阵（半正定矩阵）。

• 如为复方阵，如果,称为Hermite矩阵。