难得一见的几何分布｜高考真题拆解·2026新课标Ⅰ卷第17题

真题拆解 · 2026年Ⅰ卷连载第7讲｜上一篇：数列分组与等比结构的综合题（2026年Ⅰ卷第14题）

考场上拿到这道概率题，第一眼看到的是投篮、停止、至多 N 次，像在讲一个场景. 第二眼看到的是 P(X > k)、条件概率、证明一个等式，才明白它真正想要的是一套结构.

这类题的分水岭只有一个：能不能把「在第几次停止」翻译成「前几次发生了什么」. 这一步想通了，(i) 与 (ii) 讲的其实是同一个道理.

【真题】

建议先动笔做一遍，再往下看解析.

【解析】

【拆解】

(1) 先读透停止规则，这是全题的开关.记 X 为停止练习时的投篮次数，那么 X > k 的含义并不是「投了 k 次还没停」，而是「前 k 次一次都没中」. 只要前 k 次里有一次投中，练习就已经在那一次停下了，X 会落在不超过 k 的位置. 把这个等价关系写清楚，(i) 的答案其实就写在事件的含义里.

(2) 分布列的两端要分开看.第 (1) 问里 X 取 1, 2, 3 时，都是「前几次没中、最后一次投中」，每一项都带一个 p. 而 X = N 是 N 次全都没中，没有最后一次投中那一下，所以它的概率只有 (1 − p)^N−1，不带 p. 尾巴上少一个因子，是这类分布列最常见的漏项.

(3) 题眼在 (ii)：先判包含，再套定义.{X > k + m} 整个落在 {X > k} 里面，所以分子 P({X > k + m} ∩ {X > k}) 就直接等于 P(X > k + m). 判完这一步，条件概率的定义式退化成两个指数相除，用 (i) 的结论一步得到 (1 − p)^m，这是法二. 法一则从含义入手：已知前 k 次都没中，由各次投中与否相互独立，后面 m 次仍然全没中的概率不受前面影响，直接就是 (1 − p)^m.

(4) 内核是几何分布的无记忆性.(ii) 要证的等式，说的是「已经连续投丢 k 次」这件事，不会让接下来更容易或更难投中. 前面白投了多久，都不改变后面的分布，这正是法一能一句话说清的底气.

(5) 应试习惯与高频易错.三条：一是先把「停止」翻译成「前 k 次全没中」，别在 X > k 与 X = k 之间来回打转；二是分布列两端单独验，X = N 的尾巴不带 p；三是写条件概率之前先判两个事件的包含关系，A ⊆ B 时 P(AB) = P(A)，省下的往往是整段化简.

【考查目标】

【备考建议】

【留言区聊聊】

做条件概率的题，你是先想事件的含义，还是先写定义式硬算？打个一二就行.

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