昨晚陪娃做一道题：已知方程两根，求「两根平方和的倒数和」。孩子老老实实先把根解出来，再一个个代进去，算到一半符号就乱了。其实这类题有个"外挂"——韦达定理，不解方程，光看系数就能把答案按出来。
一、韦达定理是什么
对 （），设两根为 ，则有：
一句话记：两根之和，反号除以 ；两根之积，除以 。它把"根"和"系数"直接连了起来——这正是后面所有考法的命门。
二、考法一：对称式求值（最常见）
所谓"对称式"，就是换个根的顺序结果不变，比如 、、。这类题千万别先解方程，用韦达配公式：
例一：，求 。
韦达给 ，。直接代：。一题秒了，不用解根。
例二：，求 。
和 ，积 ，所以 。注意这里积是负，结果跟着翻负——孩子最易漏的符号就在这。
注意
对称式求值，先写韦达两式，再挑对应配方公式。凡看到"两根的平方和 / 倒数和 / 差的平方"，脑子里第一反应就该是配方，不是求根公式。
三、考法二：已知根的关系，反求系数或构造方程
把韦达反过来用：知道了两根，就能反推出方程；知道了两根的某种关系，就能解出未知系数。
例三：已知方程两根为 和 ，写出这个方程。
和 ，积 ，于是 。构造方程就这一句。
坑：二次项系数含参
例四：关于 的方程 两根之积为 ，求 。
韦达：积 ，得 ，即 。但别收工——原式是二次方程的前提是 ，且得确认 时真有根：，两相等实根，成立。所以答案是 （顺手把"二次项系数 "和""都核一遍才稳）。
结论
韦达反求系数，永远补两句自检："二次项系数 吗？（真有实根）吗？"少一句，解就可能多一个或少一个。
四、考法三：韦达 + 判别式综合
这是中考压轴最爱——把韦达和判别式绑一起，既考关系、又考"有没有根"。
例五：关于 的方程 ，，求 。
和 ，积 。平方和 ，解得 。再用判别式兜底：，确实有实根，答案成立。
注意
凡韦达题里出现"实数根""有两实根"字样，先默念一句""。韦达只管"根与系数的关系"，不管"根存不存在"——后者归判别式。
五、带走这四句
口诀 · 建议收藏 一、先写韦达两式：和 ，积 ； 二、对称式靠配方，不解方程； 三、反求系数补两句：、； 四、见到"实根"先想判别式，韦达不保证有根。
韦达定理的威力，在于把"解根"这件费时易错的事，变成"看系数"这件一眼的事。把这几句练熟，选填题里那几分"翻车重灾区"，就稳稳接住了。
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这张卡建议收藏——三句公式加两个坑，考前扫一眼就够了。
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下期：含参一元二次方程——参数藏在二次项系数、判别式、韦达三处，根的分布怎么判。
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