第二类曲面积分的四种考研题型及考研真题解析

读完本文，或许能掌握曲面法方向求法、涉及第二类曲面积分的下面四种题型的考研试题求解方法

• 预备知识：曲面的法方向

• 题型I:利用曲面参数方程计算第二类曲面积分

• 题型II:利用Gauss公式计算第二类曲面积分

• 题目III:转换积分曲面计算第二类曲面积分

• 题型IV:第二类曲面积分证明题

零、预备知识：曲面的法方向

• 设曲面的参数方程

• 知识点(1)： 曲面的法方向为

其中的确定根据指定法方向与坐标轴夹角确定，如

或者

或者

例1： 球面

法方向外侧，求其法向量。

解： 球面的参数方程

容易计算

由于在上半球面为锐角，下半球面为钝角，球面法方向为外侧，所以取正号，即

单位法向量为

【解题完毕】

• 知识点(2)： 令

则

证明： 直接计算两边（化简），即

而

所以左边=右边。【证明完毕】

一、利用曲面参数方程计算第二类曲面积分

• 知识点(1): 曲面积分基本计算方法(化为二重积分计算)

定理： 设定向曲面的参数方程

则

其中号根据法方向

与曲面指定的侧同向取正，反向取负。

例2： 设为球面

外侧，将曲面积分

化为二重积分。

解： 取球面参数方程

容易计算

因此

【解题完毕】

例3： 设曲面

外侧。计算

解： 由于曲面关于坐标平面均对称，取在第一卦限部分的参数方程

其中.

根据曲面的对称性，被积函数奇偶性得到

换元

则

【解题完毕】

重要注记：的计算问题：注意

换元

则雅可比行列式

则

得到

所以

根据余元公式

得到

因此

以上两个式子相乘,消去得到

【计算完毕】

函数或者Gauss函数参考： https://zhuanlan.zhihu.com/p/33902012

二、利用Gauss公式计算第二类曲面积分

华中师范大学2022年

湖南师范大学2022年

武汉理工大学2022年

厦门大学2022年

三、转换积分曲面计算第二类曲面积分

四、第二类曲面积分的证明题

武汉大学2010年

武汉大学2021年+武汉科技大学2021年

武汉大学2022年

电子科技大学2022年

西南交通大学

华中科技大学2022年

题目：设外侧，且是

的外表面。计算