晴子数学精选-26秋第二周每日真题训练(4)

▎今日真题方法技巧

① 大数相乘先拆整：把带分数写成 2000−8/1999 之类，再用乘法分配律

② 一串分数求和先同分母分组：1/2+(1/3+2/3)+…，每组的和是 (n−1)/2

③ 分母是连续三个整数相乘的，先裂项再相加，中间的项会成对消掉

④ 数轴上线段整体平移，抓住「两端点间距不变」，用一个端点表示整条线段

一句话总结：计算的题先找结构（拆整、同分母、裂项），数轴的题先固定一个端点——别硬算。

▎今日真题方法技巧

① 网格里找格点：先算 AB 的长，再按「AB 为腰」「AB 为底」两种情况分开数

② 数格点别漏三类：以 A 为顶点、以 B 为顶点、以 AB 为底，一类一类过

③ 证角平分：作垂线 CE⊥OB，证 △ACD≌△BCE，得 CD=CE 就完事

④ 两个直角共斜边（∠ABC=∠ADC=90°）：斜边中点到四个顶点距离相等

一句话总结：今天的题一半靠分类数格点，一半靠「直角三角形斜边中线等于斜边一半」。

▎今日真题方法技巧

① 由 ∠AMD=90° 推出点 M 在以 AD 中点为圆心、AD 的一半为半径的圆上（定边对直角）

② 最值 = 定点到圆心的距离加减半径：先求 OB，再减半径

③ 见「弧的中点」就连圆心：OD⊥AC 且平分 AC，再配中位线把 BC 和 DF 联系起来

④ 证切线：已知直线过圆上一点，就连半径证垂直（证出 ∠OCD=90°）

一句话总结：圆里的题就三步——找圆心（定角定弦）、连半径证垂直、用相似把线段换成比例。

▎今日真题方法技巧

① 已知 x+y=1，就设 t=xy（范围是 0 到 1/4），把整个式子都用 t 表示

② x²+y² = (x+y)²−2xy，凡是含平方和的，先用这个换掉

③ 化成 t 的函数后看单调性：1−2t+1/t 在 (0,1/4] 上递减，端点处取最小

④ |A−2| 就是数轴上到 2 的距离，判断大小关系时看「谁夹在中间」最快

一句话总结：条件最值先换元成一个变量，再看单调性或套均值链——别在两变量里绕。

▎今日真题方法技巧

① 给的是「和」的等式，就写出 n 和 n−1 两式相减，得到单独的通项关系

② 相减后构造 aₙ/(n−1) 的差式，累加时 1/[(k−2)(k−1)] 直接裂项求和

③ 得到 aₙ=n·a₁ 后，1/Sₙ 的通项是 2/[a₁·n(n+1)]，继续裂项

④ 求和不等式要分 a₁ 大于 0、小于 0 讨论：正负会影响裂项后不等号的方向

一句话总结：给「和」求「项」就相邻两式相减；求参数范围一定别忘了正负两种情况。