【真题】2022年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2022年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

设 ，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

没说  连续，选 B。

unsetunset第2题unsetunset

设  可导，，若 ，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

简单计算题。选 B。

unsetunset第3题unsetunset

设数列  满足 ，则 ?

(A) 若  存在，则  存在.

(B) 若  存在，则  存在.

(C) 若  存在，则  存在，但  不一定存在.

(D) 若  存在，则  存在，但  不一定存在.

选 D。考察单调性，记  为  的反函数，则有如下结论：

若  且  在区间  单调（保证有反函数），则 .

本题  是  的单调区间，而不是  的单调区间，故选 D。

unsetunset第4题unsetunset

若 ，则 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 A。作差即可得到 ；结合选项只需要在判断  和  的大小关系，由于  这部分的误差对于本题来说可以忽略，所以直接在  范围上放缩即可。

unsetunset第5题unsetunset

下列4个条件中，3阶矩阵  可相似对角化的一个充分非必要条件是 ?

(A)  有3个不同的特征值.

(B)  有3个线性无关的特征向量.

(C)  有3个两两线性无关的特征向量.

(D)  的属于不同特征值的特征向量相互正交.

选 A，过程看图：

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设  为  阶矩阵， 为  阶单位矩阵，若方程组  与  同解，则 ?

(A)  只有零解.

(B)  只有零解.

(C)  与  同解.

(D)  与  同解.

选 C。齐次方程组只有零解等价于系数矩阵满秩，因此可以得到 A 和 B 均错误。对于 C 和 D，使用分块初等变换即可。

unsetunset第7题unsetunset

设 ，若  与  等价，则  的取值范围是 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

好题，首先观察发现  的时候四个向量全部都相等，因此两个向量组必然等价。其次对  拆分发现当  的时候是不满秩的，但是  是满秩的，所以不等价（因为一个张成的是 ，另一个张成的是 ）；同理对第二个向量组拼成的矩阵分析得到当  时不满秩，而此时第一个向量组满秩，因此也不等价。故选 C。

图片过程空间有限写的比较挤，看懂上面的文字解析即可。

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设随机变量  服从区间  上的均匀分布，随机变量  服从参数为  的泊松分布，且  与  的协方差为 ，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

送分题，选 A。

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设随机变量  独立同分布，且  的4阶矩存在，，则根据切比雪夫不等式，对任意 ，都有  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 A，切比雪夫不等式的直接运用。

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设随机变量 ，若在  的条件下，随机变量 ，则  与  的相关系数为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

选 D。如果知道二维正态分布的概率密度函数表达式就秒了，建议记忆如下矩阵形式的概率密度函数，指数部分是  倍的马氏距离的平方，更有规律一些。

记  是  为随机向量， 是均值向量 ， 是协方差矩阵，则  维多元正态分布的联合概率密度函数为：

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函数  在点  处的最大方向导数为 ?

方向导数的最大值为梯度的模。

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 ?

分部积分。

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当  时， 恒成立，则  的取值范围是 ?

高中题，当然看作二元函数极值问题求解也可以，注意别漏了边界。

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已知级数  的收敛域为 ，则  ?

基础题，比值或者根值判别法都可以。

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已知矩阵  和  可逆，其中  为单位矩阵，若矩阵  满足

则  ?

考虑除法思想即可。

对求逆方法掌握不全面的同学可以参考下面这篇文章，系统总结了全部的求逆方法：逆矩阵的所有方法都在这里了！！！夯爆了！

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设  为随机事件，且  与  互不相容， 与  互不相容， 与  相互独立，，则  ?

基础题，根据定义计算即可。

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设函数  是微分方程  的满足条件  的解，求曲线  的渐近线.

一阶线性微分方程，求解即可。

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已知平面区域 ，计算

经典。根据图像很容易想到使用极坐标计算，但是如果你直接将分子的括号打开的话，那么恭喜你成功发现了计算量最大的算法！观察区域边界直线  对应的极坐标表示为 ，而分子含有  是可以约掉的，具体过程如下：

但是这种最简单的方法是非常难想到的，同时在考场上也不一定敢尝试。所以下面介绍一种更加直接且计算量也不大的方法，那就是直接用直角坐标系进行计算，过程如下，虽然比较长但是几乎没有什么计算量：

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已知曲线  是曲面  的边界，曲面  方向朝上，曲线  的方向和曲面  的方向符合右手法则，计算

也是很经典的题目了，直接使用斯托克斯计算量也是很大的，我们注意到曲线  的边界只由三条曲线围成，因此直接将积分拆成三段计算即可。在这三段上分别计算二型曲线积分难度就很低了，并且方法也很多，如定义法、格林公式、参数方程等等。

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设函数  在  上有二阶连续导数，证明： 的充分必要条件是对任意不同的实数 ，都有

成立。

 不等式的一侧。必要性直接使用区间再现结合下凸函数的性质即可证明。

充分性利用泰勒展开证明是比较直接的方式。

本题只涉及到了  不等式的一侧，完整的  不等式如下（设 ）：

下面证明一下本题没有的右侧：

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设二次型 .

(1) 写出  对应的矩阵；

(2) 求正交变换  将  化为标准形；

(3) 求  的解。

秩一矩阵，纯结论的考察，不再赘述。

对秩一矩阵的 8 大性质不熟悉的同学移步下文：秩一矩阵8大性质！

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设  为来自均值为  的指数分布总体的简单随机样本， 为来自均值为  的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中  是未知参数。利用样本 ，求  的最大似然估计量 ，并求 .

第一问，根据似然函数的定义，全都乘起来即可。不要因为有两类就被吓到了。

第二问，根据第一问求出的表达式结合指数函数的方差展开计算即可。

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