1 一、选择题
1—8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
1.
当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
知识点：
- 等价无穷小；
- 无穷小阶的比较；
- 幂函数极限。
解析：
当 时，
因此
它是 阶无穷小；同时
它是 阶无穷小。两者均比 高阶，故
解得
故选 B。
2.
下列曲线有渐近线的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
知识点：
- 水平渐近线与斜渐近线；
- 无穷远处的函数极限。
解析：
对于选项 C，设 为其斜渐近线。则
且
故曲线具有斜渐近线
选项 A 中 没有极限；选项 B、D 中 ，不存在直线型渐近线。因此选 C。
3.
设函数 具有二阶导数，，则在 上（ ）
（A）当 时，
（B）当 时，
（C）当 时，
（D）当 时，
**答案：**（D）
知识点：
- 二阶导数与函数的凸性；
- 凸函数的弦线性质。
解析：
是连接 与 两点的弦线。若 ，则 在 上为凸函数。由凸函数的定义，对任意 ，
即
故选 D。
4.
曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
知识点：
- 参数方程所表示函数的一阶、二阶导数；
- 曲率与曲率半径。
解析：
由
得
以及
当 时，，，故曲率为
因此曲率半径为
故选 C。
5.
设函数 ，若 ，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
知识点：
- 拉格朗日中值定理；
- 泰勒公式；
- 极限的计算。
解析：
由题意，
从而
利用泰勒公式
可得
故选 D。
6.
设 在平面有界闭区域 上连续，在 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，则（ ）
（A） 的最大值点和最小值点必定都在区域 的边界上；
（B） 的最大值点和最小值点必定都在区域 的内部；
（C） 的最大值点在区域 的内部，最小值点在区域 的边界上；
（D） 的最小值点在区域 的内部，最大值点在区域 的边界上。
**答案：**（A）
知识点：
- 有界闭区域上连续函数的最值定理；
- 二元函数极值的必要条件；
- 二阶偏导数判别极值。
解析：
由连续函数在有界闭区域上的最值定理， 在 上必能取得最大值与最小值。
若极值点位于 的内部，则该点必为驻点。记
由 ，得 ；又 ，故在任一内部驻点处，
根据二阶偏导数判别法，该驻点不是极值点。因此最大值点和最小值点均只能位于区域 的边界上，故选 A。
7.
行列式 等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
知识点：
- 行列式按行展开；
- 行列式的降阶计算。
解析：
按第一行展开，得
故选 B。
8.
设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关是向量 线性无关的（ ）
（A）必要而非充分条件
（B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件
（D）非充分非必要条件
**答案：**（A）
知识点：
- 向量组的线性相关与线性无关；
- 矩阵乘法与秩；
- 必要条件和充分条件。
解析：
若 线性无关，设
整理得
由三个向量线性无关，必有 。因此对任意常数 ， 与 均线性无关。
反之不成立。例如取
此时对任意 ，前述两个向量仍线性无关，但三个向量线性相关。因此该条件是必要而非充分条件，故选 A。
2 二、填空题
本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分。
9.
________。
答案：
知识点：
- 无穷区间上的反常积分；
- 反正切函数的原函数公式。
解析：
10.
设 为周期为 的可导奇函数，且 ，，则 ________。
答案：
知识点：
- 导数与原函数；
- 奇函数的性质；
- 周期函数的性质。
解析：
由于 为奇函数，。当 时，
代入 得 ，故
又因 的周期为 ，且 ，所以
11.
设 是由方程 确定的函数，则 ________。
答案：
知识点：
- 隐函数存在定理；
- 隐函数求偏导；
- 二元函数的全微分。
解析：
令
当 时，方程化为 。由于左端关于 严格递增，故唯一解为 。
在点 处，
因此
所以
12.
曲线 的极坐标方程为 ，则 在点 处的切线方程为________。
答案：
知识点：
- 极坐标方程的参数化；
- 参数曲线的切线斜率；
- 切线方程。
解析：
将 视为参数，则
故
当 时，曲线上的点为 ，且
因此切线方程为
即
13.
一根长为 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度 ，则该细棒的质心坐标 ________。
答案：
知识点：
- 变密度直棒的质量；
- 一阶矩与质心坐标。
解析：
细棒的质量为
它关于原点的一阶矩为
故质心坐标为
14.
设二次型 的负惯性指数是 ，则 的取值范围是________。
答案：
知识点：
- 二次型的配方法；
- 二次型的规范形；
- 正、负惯性指数。
解析：
配方得
前两项分别提供一个正平方项与一个负平方项。若 ，则第三项还会增加一个负平方项，使负惯性指数为 ；若 ，负平方项恰有一个。因此
即
3 三、解答题
15.（本题满分 10 分）
求极限 。
知识点：
- 变上限积分函数的求导；
- 洛必达法则；
- 泰勒公式。
解析：
当 时，
故分子、分母均趋于 ，可以使用洛必达法则。分母的导数为
由变上限积分求导公式及泰勒展开，
16.（本题满分 10 分）
已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值和极小值。
知识点：
- 可分离变量的微分方程；
- 隐式解；
- 导数符号与函数极值。
解析：
原方程可化为
分离变量并积分，得
由 得 ，故
又
由于分母恒正， 的符号完全由 决定。因此 在 上递减，在 上递增，在 上递减。
当 时，
其唯一实根为 ，故极小值为 。当 时，
其唯一实根为 ，故极大值为 。
17.（本题满分 10 分）
设平面区域 。计算 。
知识点：
- 二重积分的对称性；
- 极坐标变换；
- 分部积分法。
解析：
记
区域 关于直线 对称。交换 ，得
两式相加，得
在极坐标下，，。因此
18.（本题满分 10 分）
设函数 具有二阶连续导数， 满足 。若 ，求 的表达式。
知识点：
- 二元复合函数的高阶偏导数；
- 二阶常系数线性非齐次微分方程；
- 初始条件确定任意常数。
解析：
令
由复合函数求导法则，
而
所以
由题设可得
即
对应齐次方程的通解为 ，取非齐次方程的一个特解为 ，故
由 与 ，得
解得
因此
19.（本题满分 10 分）
设函数 在区间 上连续，且 单调增加，，证明：
（1）；
（2）。
知识点：
- 定积分的保序性；
- 变上限积分函数的求导；
- 单调函数与导数符号。
解析：
（1）由 及定积分的保序性，对任意 ，有
（2）令
显然 。由第（1）问，
由于 单调增加，
对 求导，得
因此 在 上单调不减，于是
展开 ，即得
20.（本题满分 11 分）
设函数 ，，定义函数列
设 是曲线 ，直线 所围图形的面积。求极限 。
知识点：
- 复合函数列的递推；
- 数学归纳法；
- 定积分与数列极限。
解析：
由递推关系可用数学归纳法证明
事实上， 时结论成立；若 ，则
因此
所以
21.（本题满分 11 分）
已知函数 满足 ，且 ，求曲线 所成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积。
知识点：
- 由偏导数恢复二元函数；
- 平面曲线围成区域的确定；
- 旋转体体积的圆盘法；
- 分部积分法。
解析：
由
关于 积分，得
由已知条件，
故
将自变量改记为 ，得
从而
曲线 满足
右端非负的条件为 ，并在 时为零，因此曲线关于直线 对称，并围成一个有界区域。
该区域绕 旋转一周。截面圆盘的半径平方为 ，所以
22.（本题满分 11 分）
设 ， 为三阶单位矩阵。
（1）求方程组 的一个基础解系；
（2）求满足 的所有矩阵。
知识点：
- 齐次线性方程组的基础解系；
- 矩阵的初等行变换；
- 非齐次线性方程组的通解；
- 矩阵的右逆。
解析：
（1）对 作初等行变换：
故同解方程组为
令 ，得到一个基础解系
（2）设 。则 等价于
对增广矩阵 作初等行变换，得
每个非齐次方程组的通解等于一个特解加上齐次方程组的任意解。因此满足 的所有矩阵为
其中 为任意常数。
23.（本题满分 11 分）
证明 阶矩阵
与
相似。
知识点：
- 矩阵的特征值与特征多项式；
- 矩阵可对角化的判定；
- 实对称矩阵的正交对角化；
- 相似关系的传递性。
解析：
记题中的两个矩阵分别为 与 。
对于 ，有
且对任意满足 的向量 ，都有 。因此 的特征值为
并且 可对角化。于是
对于 ，它是上三角矩阵，对角元为 ，故其特征值也为
又 ，所以
即特征值 有 个线性无关的特征向量；再加上特征值 对应的一个特征向量， 有 个线性无关的特征向量，故 可对角化，且
两个矩阵均与同一个对角矩阵相似，因此由相似关系的传递性， 与 相似。