前几天有个家长问我：刘老师，我家孩子一元二次方程的计算题做得还行，一碰到应用题就懵，读半天题不知道从哪下手，怎么办？这个问题其实很普遍了，很多孩子都有这个问题——方程会解，但就是列不出来。一、先说说南京中考的脾气
研究南京中考命题这么多年，我对南京中考的应用题算是摸透了脾气。但是今年有个变化，值得南京的家长和同学们注意。往年应用题基本都是一元一次方程或者一元二次方程的利润、面积问题，但今年第26题考了一道抛物线形拱桥的实际应用题，把二次函数和一元二次方程结合起来考了。这说明南京中考的应用题在往综合化方向走，不再是单纯列个方程就完事，而是需要结合函数图像来分析问题。难度上呢，南京中考的应用题不算刁难人，属于中档题，大部分孩子只要方法对都能做出来。但它有个坏脾气——喜欢在细节上坑你。比如"每降价1元多卖10件"，有的孩子看成"每涨价1元多卖10件"，整道题就白做了。二、三类题，三种思路
南京中考的应用题，翻来覆去就三类。每一类有每一类的套路，搞清楚了就不慌。第一类：做买卖的利润问题。
这类题最常见，说白了就是算一笔账。一件东西进价多少、卖多少、一天能卖几件，降价了能多卖几件，问你要赚多少钱该怎么定价。想这类题的时候，就把自己当成开店的老板。你要算的是：每件能赚多少钱？一天能卖多少件？两件事乘起来就是一天总共赚的钱。就这么简单。设降价x块钱，售价就是原来的价减x，卖的件数就是原来的件数加上多卖的件数，然后乘起来等于总利润，方程就出来了。第二类：围花园的面积问题。
这类题通常是给你一段篱笆，让你围个矩形的花园，有时候一面靠墙不用围，问你面积多大、长宽多少。或者是在一个大矩形里修一条小路，问小路多宽。想这类题，脑子里得有个图。先画个矩形，把长和宽标出来，看看篱笆围了几条边。一面靠墙的话，篱笆只围三条边，别傻乎乎四条边都算。面积就是长乘宽，根据题目给的面积列方程就行。第三类：赶路程的行程问题。
通常是两个人或者两辆车，从不同地方出发，相遇了用了多久；或者是同一个人，骑车比走路快多少，走同样的路少用了多少时间。想这类题，记住一个最基本的关系：走的路有多远，取决于跑多快、跑多久。路程等于速度乘时间，这个公式小学就学过。设速度或者时间为x，根据路程相等或者时间差列方程。注意单位要统一，别一个用小时一个用分钟，那肯定算错。三、今年最新真题速递
今年刚考完的南京中考第26题，就是一道实际应用题，而且出得很有新意，咱们一起来看看。这道题的第一问是基础，以C为原点、AB为x轴建立坐标系，A(-10,0)、B(10,0)、D(0,10)，设抛物线y=ax²+10，代入A点求出a=-1/10，表达式就是y=-1/10 x²+10。第二问是这道题的核心，也是一元二次方程的用武之地。要判断人眼Q能不能看到山顶F，本质就是看直线QF和抛物线有没有交点（除Q点外）。如果没有交点，说明能看到。把直线QF的方程求出来，和抛物线联立，得到一个一元二次方程，算判别式Δ。Δ>0说明有交点，被挡住；Δ<0说明没有交点，能看到。你看，这里又用到了咱们前面讲的判别式的知识。第三问的四个结论，也是围绕函数图像和方程来分析的，需要结合图像的对称性和距离公式来判断。这道题给我们的信号是：南京中考的应用题不再是单纯的"列方程解方程"，而是把方程和函数图像结合起来，考查综合应用能力。所以孩子们在复习的时候，不能只会列方程，还要会看函数图像、会用方程解决图像上的交点问题。四、拿今年中考真题练练手
第（1）问：建立坐标系，求函数表达式。
这一问是送分题，关键是坐标系建得好，计算就简单。以C为原点，AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立直角坐标系。这样的话，A点坐标(-10, 0)，B点坐标(10, 0)，顶点D坐标(0, 10)。
因为顶点在(0, 10)，所以设抛物线的函数表达式为y = ax² + 10。把A点(-10, 0)代入：0 = a×(-10)² + 10，即100a + 10 = 0，解得a = -1/10。
所以抛物线的函数表达式为y = -1/10 x² + 10。就这么简单，4分到手。
第（2）问：判断能否看到山顶F。
这一问是整道题的核心，也是一元二次方程的用武之地。要判断人眼Q能不能看到山顶F，本质就是看直线QF和抛物线有没有交点（除Q点本身外）。如果有交点，说明视线被桥挡住了，看不到；如果没有交点，说明视线畅通，能看到。
先把各个点的坐标求出来。P到A的水平距离是2m，A在x=-10，所以P的x坐标是-10+2=-8。P在抛物线上，代入表达式：y = -1/10×(-8)² + 10 = -6.4 + 10 = 3.6。所以P(-8, 3.6)。
Q在P正上方1.6m，所以Q的坐标是(-8, 3.6+1.6) = (-8, 5.2)。
再看F点。F到A的水平距离是364m，A在x=-10，所以F的x坐标是-10+364=354。山高331m，所以F(354, 331)。
现在求直线QF的方程。两点Q(-8, 5.2)和F(354, 331)，斜率k = (331-5.2)/(354-(-8)) = 325.8/362 = 0.9。用点斜式：y - 5.2 = 0.9(x + 8)，整理得y = 0.9x + 12.4。
关键一步来了：联立直线和抛物线，看有没有交点。把y = 0.9x + 12.4代入y = -1/10 x² + 10，得：
0.9x + 12.4 = -1/10 x² + 10
两边乘10消去小数：9x + 124 = -x² + 100
整理成标准形式：x² + 9x + 24 = 0
算判别式：Δ = 9² - 4×1×24 = 81 - 96 = -15 < 0
判别式小于0，说明这个一元二次方程没有实数根，也就是说直线QF和抛物线没有交点。既然没有交点，视线就不会被桥挡住，所以人眼在Q处能直接看到山顶F。
你看，这一问的关键就是把"能不能看到"转化为"直线和抛物线有没有交点"，再转化为"一元二次方程有没有实数根"，最后用判别式判断。这就是数学里典型的转化思想，也是南京中考特别爱考的能力。
第（3）问：判断四个结论。
这一问是多选题，需要逐个分析。
结论①和②是关于仰角相等的。仰角相等，意味着从M点看F的视线斜率和从P点看F的视线斜率相同。P点看F的斜率我们算过了，是0.9。设M点坐标为(x, -1/10 x² + 10)，眼睛位置为(x, -1/10 x² + 11.6)，看F的斜率为(331 - (-1/10 x² + 11.6))/(354 - x) = 0.9。整理后得到方程x² + 9x + 8 = 0，因式分解(x+1)(x+8)=0，解得x=-1或x=-8。x=-8就是P点本身（题目要求不重合），所以只有x=-1这一个点，在AD段（x为负数）。所以①正确，②错误——BD段（x为正数）没有这样的点。
结论③和④是关于距离最近的。人从D走到B，眼睛的轨迹是一条抛物线（比拱桥高1.6m），到F点的距离最近的点，是F到这条抛物线的垂足。这个垂足的位置需要用二次函数的最值来求，既不在D点也不在B点，而是在中间某个位置。所以③和④都是错误的。
所以这道题的正确结论是①。
这道题虽然放在第26题的位置，看起来吓人，但拆开来看，每一问都用的是基础知识：求函数表达式、联立方程算判别式、二次函数最值。关键是要学会把实际问题转化为数学问题，再用学过的知识去解决。
五、做应用题的四步口诀
不管哪类应用题，我都让学生按四步来走，给他们编了个口诀：读题像破案，设元要划算，列方程找关系，解完别忘了看。第一步，读题像破案。拿到题别急着列方程，先把题目读明白。谁是已知的、谁是要求的、题目说的是哪类事，都搞清楚。把关键数字圈出来，比如进价、售价、销量这些。读题慢一点没关系，看错了才是大麻烦。第二步，设元要划算。设哪个未知数是有讲究的。设得好，后面列方程就顺；设得不好，列出来的方程又复杂又难解。像刚才那道题，设降价x元就比设售价x元方便。一般来说，设那个"变化的量"比较好，比如降价多少、宽是多少、速度是多少。第三步，列方程找关系。这是最关键的一步。利润问题找"总利润等于什么"，面积问题找"面积等于什么"，行程问题找"路程相等"或者"时间差多少"。找到等量关系了，把用未知数表示的量代进去，方程就成了。第四步，解完别忘了看。解出方程的根之后，一定要回头看看，这个答案合不合理。比如售价不能比进价还低吧？长度不能是负数吧？时间不能是负的吧？不合理的答案要舍掉。南京中考阅卷的时候，不验证直接写答案是要扣分的。六、三个最容易栽跟头的地方
这些年改作业改试卷，我发现孩子们在应用题上栽跟头，翻来覆去就是三个地方。第一个，题没读明白就动手。有的孩子扫一眼题目，看到几个数字就开始列方程，结果"降价"看成"涨价"，"多卖"看成"少卖"，列出来的方程从根上就错了。我常跟学生说，读题花的时间不要舍不得，读明白了列方程就是一分钟的事，读不明白算了半天也是白算。第二个，利润公式记错。有的孩子直接用"售价乘销量"当总利润，把成本给忘了。总利润不是卖了多少钱，是赚了多少钱，得用"每件赚的钱"乘"卖了多少件"，每件赚的钱是售价减进价。这个公式一错，整道题就没分了，一定要记牢。第三个，解出来什么都往上写。有的孩子解出两个根，看都不看就都写上，结果有一个根是负的，或者不符合实际意义。应用题的解必须符合实际，不符合的要舍掉。比如降价降太多，售价比进价还低，那不是做买卖是做慈善，肯定不对。最后说几句
应用题这个东西，说难不难，说简单也不简单。它考的不是你方程解得多快，而是你能不能把生活里的事翻译成数学式子。这个翻译能力，是可以练出来的。把三类题的套路搞清楚，按四步口诀一步步来，避开那三个坑，南京中考的这道应用题，8到10分基本就能稳稳拿到手。这个知识点还跟后面二次函数的最值应用题是通的，现在把基础打牢了，后面学起来就轻松。下一篇，咱们聊聊一元二次方程整章学完了该怎么整理——知识框架怎么搭、易错点怎么记、题型怎么归类，帮孩子把整章知识串成一张网，考试的时候不丢分。我是博哥，在南京教初高数学。应用题不可怕，可怕的是没方法。方法对了，一切都顺。咱们下篇见。 
