2023 新高考I卷 · 解析几何（第22题）

抛物线 W 上三个点凑成矩形，周长凭什么一定大于 3√3

在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点  的距离，记动点 P 的轨迹为 W。（1）求 W 的方程；（2）已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于 。

设 P(x,y)，到 x 轴距离为 |y|，到点  距离为 。由题意：。

两边平方得 ，消去 y² 即 ，也就是 。（顺便记一句：它是顶点 、开口向上的抛物线，且正好满足"到 x 轴距离 = 到焦点  距离"——这就是抛物线的定义。）

💡 关键思路

核心观察：三个顶点在一条凸曲线上、且构成矩形，那么直角一定出在横坐标居中的那个顶点上。我们把它设为 B，左右两点为 A,C。

设三点的横坐标为 a<b<c，均在 W 上，对应 。由 AB⊥ BC，斜率乘积为 -1：，即 (a+b)(b+c)=-1。

由 (a+b)(b+c)=-1 知两因子异号。不妨设 b+c=m>0，则 。由  得 ；由 b+c=m 得 c=m-b。于是两条直角边的"水平投影"为：（记 u=2b），且 。

抛物线  上两点 (x₁,y₁),(x₂,y₂) 的距离可化简为 （因为 y₂-y₁=(x₂-x₁)(x₁+x₂)）。于是：这是关于 u 的一次式，系数 。

当 m≥ 1 时 ，系数为负，P 随 u 增大而减小，最小值在 u→ m^- 处取得：。当 m≤ 1 时对称地得到 ；令  即化为上面的形式。所以只需研究 m≥1 的情形。

对 m≥1，。令 t=m²≥1，则 P^*=2(t+1)^3/2/t。取对数求导：，故 t=2（即 ）时取极小，极小值为 。

上面最小的  是在 u→ m 时逼近的，此时 c-b→0，矩形退化成一条线段，不是真正的矩形。所以对任意非退化矩形都有 。证毕。

📌 方法归纳

抛物线弦长速算：在 y=x²+c 上，。把横坐标之和当成一个整体参数，很多"三点定形"的题都会瞬间清爽。

⚠️ 易错提醒

直角顶点必须取x坐标居中的那一个，否则 (a+b)(b+c)=-1 这个关系推不出来。另外注意第(2)问只说"三个顶点在 W 上"，第四个顶点可以不在曲线上，别误以为四点都在抛物线上。

取 a=-1.5,b=-0.5,c=1，满足 (a+b)(b+c)=(-2)(0.5)=-1，三个顶点 A,B,C 在抛物线上，第四个顶点 D 不在曲线上。

这道题的"难"不在计算量，而在把几何条件层层翻译成代数：矩形→直角→斜率乘积 -1→参数 m→周长关于 u 的一次式→两次单变量最值。每一步都是解析几何的通用套路，吃透这一道，同类"曲线上 n 点定形"的问题就有了骨架。