高考数学的底层原理（一）
四特张
课题较大，但高考数学学习的底层原理是相通的。具体到数学题中，均有其底层原理。其中，将高考数学的120多种类型题，找到有代表性的该类型母题（可借鉴B站大咖总结的经验，自己的弱点、经验，老师总结的高考出题变化趋势等，综合确定。），将其底层原理熟练掌握。如果达到精通，当然更好。
因此，本文通过实际发生的事例来说明，如何在数学解题过程中，提炼其底层原理。
自己前一段时间在B站搜索勾股定理证明的相关视频看了一下，其中十种证明方法的视频完整地看了一遍，一听就懂。
过了一个星期，专门定项用课本中的证明方法来证明。卡壳！
仅记得，做直角三角形斜边的垂线并延长至斜边正方形的另一边，将该正方形分为两个矩形，再证明其分别与a²、b²(即两个直角边正方形的面积)相等。
另两条辅助线隐约记得。实际上，当时在草稿纸已画出，甚至能证明，两个三角形全等。
但卡壳的地方为:未看出小正方形是其中一个三角形面积的两倍(等底等高)。
斜边正方法分割的其中一个矩形是另一个三角形的两倍。
自己随手画的图不准确，同时在复杂一些的图形，思路未到，不容易看出等底等高。
自己当年高中学生时代，应该是熟练掌握。四十多年后，即使曾看过一遍证明过程，依然出现卡壳，现在回想，当年应该未提取其底层原理。
因为卡壳，就在想，考试遇到这种情况，应该及时转变思路，考虑其他证明方法。
当时，随手画出如下两个图形:
已知直角三角形ABC，如图，直角边边长分别为a、b,斜边边长为c，求证:c²=a²+b²
方法一:
如图二，以a+b为边长的正方形，其边角的四个直角三角形与已知直角三角形全等，即该正方形内的四边形的边长均为c。
该四边形的夹角均等于:
180°－(角A的等角+角B的等角)
=180°－90°
=90°
即该四边形为边长为c的正方形。
即:
(a+b)²=c²+4×(½ab)
a²+2ab+b²=c²+2ab
a²+b²=c²
得证
方法二:
根据画出的图一:
(a+b)²=a²+b²+4×(½ab)
根据画出的图二:
在方法一的分析基础上，可得出:
(a+b)²=c²+4×(½ab)
即:c²=a²+b²
得证
在解题过程中，若就此结束，只能说明，你还没有深入该证明方法的底层原理。
1、为什么构图是a+b为边三角形长的正方形？
2、为什么想到像图一、图二那样构图？
……
如果我未看答案，我自己能分析出来吗？
当天在已知答案的基础上，分析解题的切入点。
在公众号看到一篇文章，把初中数学知识归纳为:数、定义(概念)、变换。
我不是数学老师，但我认为精辟。
具体到本题，要证c²=a²+b²，c²已是最简单的，而:
a²+b²=(a+b)²－2ab
=(a+b)²－4×(½ab)
如此变形，是因为已知直角三角形的面积为½ab。
即:(a+b)²=a²+b²+4×(½ab)
此为图一的底层原理
直接利用要证明的c²=a²+b²，则:
(a+b)²=c²+4×(½ab)
此为图二的底层原理
如此，图构造出来，题也就水到渠成地证明。
(a+b)²=a²+b²+2ab
却是这道几何题方法一、方法二的底层原理。
将代数知识和几何知识有机地结合，并融汇贯通。这样的案例多做几个、并积累，你对代数、几何的理解，就能加深。
记忆问题:因为是以a+b为边长做的正方形，因此，图一自然好记。
图二，参照DNA发现者，以猴子首尾相连的联想，对DNA螺旋结构的发现并证实。具体到本例，连想成已知直角三角形首尾相连在以斜边c为边长的正方形周围。
下面，再根据文章开始说到的卡壳，继续:
本人认为，不是做三条辅助线，而且五条辅助线，如图，增加两条辅助线:
延长B1B;延长B2B
如此，应该不会再出现卡壳问题了。
正因为出现卡壳，思考更深入，记忆更深刻，从记忆、学习的角度看，收获更多。
有人认为，即使掌握的知识，还未熟练，应该直接去实践，具体到学生，直接去做题(习题集要精选)，不怕犯错。在犯错中成长。
具体到高考，希望在高考前，你已度过了成长的阶段，已是胸有成竹了。
回到主题，在卡壳的情况下，如何继续？
前面已讲述，课本的证明方法，是要先证明矩形B1BDD1的面积等于小正方形的面积a²的基础上，继续分析如何证明:
我当时的操作过程如下:
方法三:
½c×CD=½ab
则:CD=ab／c
BD={a²-(ab/c)²}½
=a²／c
即矩形BB1D1D的面积为:
c×a²／c=a²
同理，矩形D1DAA1的面积为b²
即c²=a²+b²
得证
检查发现，要证明勾股定理，却在证明过程中，应用了勾股定理，错误。
但是，却算出了BD的长为a²／c，得到启发，这是相似三角形知道三边，另一边的表达式。
即:BD/a=a／c
则，要证明三角形CBD∽三角形ABC
而∠CBA=∠ABC
两个三角形均是直角三角形
从而:三角形CBD∽三角形ABC
根据以上思路，反推即可把证明写出来。
之后，反思，既然通过前面看视频，已经知道了中间结果，即:
矩形BDD1B的面积是a²，从而:
c×BD=a²，即BD=a²/c
思路如此切入，上述解题过程更简单。
方法四:进一步简化
1、先证明三角形CBD∽三角形ABC，从而BD=a²／c
2、同理，AD=b²/c
AB=AD+BD
即c=a²／c+b²／c
c²=a²+b²
得证
说明:此方法的辅助线不要画以AB为边长的正方形，仅画斜边上的高，简单，不易出错。
在三角形等图形，做高(垂线)的辅助线，在其他题中，也积经常应用。如:
中线定理
如下图，已知D为BC的中点，求证:
AB²+AC²=2(AD²+BD²)
证明:过A点做BC的垂线交BC于E，设DE=x
D为BC中点，则BD=CD
则AB²+AC²=AE²+(BD+x)²+AE²+(BD-x)²
=2(AE²+DE²+BD²)
=2(AD²+BD²)
得证
可以将高(垂线)辅助线作一个专题，有意识地收集，并融汇贯通。
通过以前看到并记住的中间结果，分析出方法三、方法四。
通过之前的学习，今日的推进，整个过程还是令人满意的，这情境，令人难忘。之后，有意识地在冥想、休息时间等，时不时地回想，从而把情境的记忆变为长期记忆，从而掌握一系列的数学知识，且是情境画面记忆。
最后，精选出方法四为应试的首选方法。
方法一备用。
只有这样，在高考数学时，你能在有限的时间内，从容淡定地完成答卷。即使遇到复习范围之外的考题，你也有充足的时间，调用相关知识，从各方面去攻克。
