初三基础篇 | 实际问题与一元二次方程：变化率·传播·循环（12题精练）
初中数学 · 人教版九上 25.3（一） · 基础篇（第 35 期）
📌 本讲导读
解方程四讲全部收口，这一讲开始"用方程"：把现实问题翻译成一元二次方程。本讲三大应用模型：变化率（a(1±x)² 型）、传播与分裂、单/双循环。所有应用题共享一套流程——审、设、列、解、验、答，其中"验"是应用题的灵魂：解必须符合实际意义。
一、知识清单
1. 六步流程：审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答
① 审：找出等量关系（通常藏在"共、比、后、增加了"这些词里）；
② 设：直接设未知数，或设变化率/份数；
③ 列：按等量关系列方程；④ 解：配方/公式/因式分解任选；
⑤ 验：检验两件事——方程的根是否都成立？根是否符合实际意义（人数为负？增长率超过100%？边长为0？）；
⑥ 答：写出完整答句。
🔑 变化率问题：核心公式 a(1±x)ⁿ
基础量 a，平均变化率 x，变化 n 次后的量为 a(1+x)ⁿ（增长）或 a(1−x)ⁿ（降低）。
三个易错点：①"增长了"与"增长到"不同；②变化次数 n = 时间跨度（1月到3月是 2 次）；③解出的 x 必须满足 0＜x＜1（增长率不可能超过100%），负值直接舍去。
2. 传播与分裂：一字之差，模型不同
① 传播型（传染源计入总数）：1 个传染源每轮传染 x 人，一轮后共 1+x 人感染，两轮后共 (1+x)² 人；
② 分裂型（原个体不计入新增）：1 个细胞每次分裂成 x 个，一次后 x 个，两次后 x² 个。
判断口诀："传给我算我，裂出去不算妈"。
3. 单循环与双循环
① 单循环（握手、单循环赛）：n 人两两之间只发生一次，总数 n(n−1)/2；
② 双循环（主客场、互赠礼物）：两两之间发生两次，总数 n(n−1)；
记忆：n 个人每人向其余 (n−1) 人各发一次，共 n(n−1) 次；"只握一次"就把重复的一半砍掉，÷2。
二、题型精讲
题型一变化率：抓"变化次数"
某商品1月售价22万元，3月售价18万元，月平均下降率 x，列方程。
💡 思路：1月到3月经过 2 个月 = 降价 2 次。2月：22(1−x)；3月：22(1−x)²。方程 22(1−x)²=18。别把"两次变化"写成一次——(1−x) 的指数就是易错点。
题型二传播问题：传染源计入总数
某班1人患流感，每轮每人平均传染 x 人，两轮后全班共 121 人患病，求 x。
💡 思路：第一轮后 1+x 人；第二轮由 (1+x) 个病人各传 x 人，共 (1+x)+x(1+x)=(1+x)² 人。方程 (1+x)²=121 ⇒ 1+x=11 ⇒ x=10。若问"传染了多少人"，还要减去最初的1人。
题型三单循环：握手公式 n(n−1)/2
聚会每两人握一次手共 45 次，求人数。
💡 思路：n(n−1)/2=45 ⇒ n²−n−90=0 ⇒ (n−10)(n+9)=0 ⇒ n=10（负值舍）。若改成"互赠礼物"或"主客场赛"，公式变 n(n−1)=45×2，一个 ÷2 的差别，考试最爱在这里设坑。
三、三大应用模型速查表
四、12 题精练
基础过关（第 1~8 题）
某款新能源车1月售价22万元，3月售价18万元，设月平均下降率为 x，所列方程正确的是（ ）
A. 22(1−2x)=18 B. 18(1+x)²=22 C. 22(1−x)=18 D. 22(1−x)²=18某区2025年教育投资5亿元，2027年计划达到7.2亿元，求年平均增长率 x。（列方程并求解） 某商品原价100万元，连续两次降价后售价81万元，求平均每次降价的百分率。 某电子商城一款手机经过两次涨价，从2000元涨到2420元，求平均每次涨价的百分率。 某班同学互赠毕业留言，全班共写了2450份留言（每人给其他每人都写一份），求全班人数。 某次比赛采用单循环赛制（每两队之间只赛一场），共进行了28场比赛，求参赛队数。 某联赛小组赛为双循环赛制（每两队赛两场），共赛了156场，求参赛队数。 某种细胞每分裂一次由1个变成 x 个，1个细胞连续分裂两次后共得到81个细胞，求 x。
能力提升（第 9~12 题）
某商品先提价 21%，随后连续两次降价，每次降价的百分率相同，结果恰好回到原价，求每次降价的百分率（保留到0.1%）。 一个多边形共有 27 条对角线，求它的边数。（提示：n 边形对角线条数为 n(n−3)/2） 某流感第一轮有1人患病，每人每轮传染 x 人；第二轮传染后共有 121 人患病。若此趋势不被控制，第三轮传染后患病总数是多少？ 某产品成本100元，连续两次降价后成本降至64元，每次降价率相同。(1) 求每次降价率；(2) 若再按此率连续降价两次，成本将降至多少元？
五、逐题解析
- D
。1月到3月共 2 次降价：22(1−x)²=18。A 错在把两次变化当一次；B 的设元方向反了；C 漏了一次变化。"变化次数 = 时间跨度"是列式第一步。 - x=20%
。5(1+x)²=7.2 ⇒ (1+x)²=1.44 ⇒ 1+x=1.2（负解 1+x=−1.2 舍）⇒ x=0.2。2025→2027 跨两年，变化 2 次。 - 10%
。100(1−m)²=81 ⇒ (1−m)²=0.81 ⇒ 1−m=0.9 ⇒ m=0.1。另一个根 1−m=−0.9 ⇒ m=1.9＞100%，不合实际舍去——应用题的根必须"过验"。 - 10%
。2000(1+x)²=2420 ⇒ (1+x)²=1.21 ⇒ 1+x=1.1 ⇒ x=0.1。涨跌同构，只是符号选择。 - 50 人
。每人写 (n−1) 份，共 n(n−1)=2450 ⇒ n²−n−2450=0 ⇒ (n−50)(n+49)=0 ⇒ n=50。互赠 = 双循环，千万别除以 2。 - 8 队
。n(n−1)/2=28 ⇒ n²−n−56=0 ⇒ (n−8)(n+7)=0 ⇒ n=8。单循环除以 2。 - 13 队
。n(n−1)=156 ⇒ n²−n−156=0 ⇒ (n−13)(n+12)=0 ⇒ n=13。同一组数字，单循环 28 场是 8 队、双循环 156 场是 13 队——公式一换结果完全不同。 - x=9
。分裂型：原细胞不计入新增，两次后共 x² 个 ⇒ x²=81 ⇒ x=9。对照：若是"传播型"两人互传则应列 (1+x)²=121 型——模型判断先于计算。 - 约 9.1%
。设原价 a：a(1+21%)(1−x)²=a ⇒ (1−x)²=1/1.21 ⇒ 1−x=1/1.1=10/11 ⇒ x=1/11≈0.0909 ⇒ 约 9.1%。巧设原价 a（不设具体数），等式两边 a 直接约掉，是变化率题的常用技巧。 - 9 边形
。n(n−3)/2=27 ⇒ n²−3n−54=0 ⇒ (n−9)(n+6)=0 ⇒ n=9。对角线公式与单循环握手同源：n 个顶点连 n(n−1)/2 条线，去掉 n 条边就是对角线。 - 1331 人
。由 (1+x)²=121 ⇒ 1+x=11 ⇒ x=10。第三轮：11³=1331。若题问"三轮共新增多少人"，则 1331−1=1330。 - (1) 20%；(2) 40.96 元
。(1) 100(1−x)²=64 ⇒ (1−x)²=0.64 ⇒ 1−x=0.8 ⇒ x=20%。(2) 再降两次：64×(1−20%)²=64×0.64=40.96 元。"按此率"= 继续乘 (1−20%)²，模型迁移而不是重新列式。
六、方法卡：应用题防错五查
① 查变化次数：a(1±x) 的指数等于变化次数，1月到3月是 2 次不是 1 次；
② 查模型归属：传染源计入总数用 (1+x)ⁿ，分裂不计入用 xⁿ；握一次手 ÷2，互赠不 ÷2；
③ 查解的实际意义：人数、队数必须是正整数；变化率必须在 0 与 1 之间；
④ 查"总共"还是"新增"：传播 n 轮后"共 (1+x)ⁿ 人"，问"新增"要减掉初始的 1；
⑤ 查答句：应用题没有答句等于没做完，写清单位与结论。
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配套 12 题逐题解析见文末 | 建议用时 40 分钟
