这道题把抛物线、等腰直角三角形、内切圆与外接圆、三角形内角平分线三种情况，以及“胡不归”型最小值全串在一起，分类的情况比较多。
题源：2025
类型：二次函数 + 等腰直角三角形 + 内切圆与外接圆 + 角平分线 + 胡不归型最小值
难度：⭐⭐⭐⭐
【原题】
一、题眼总览
二、第(1)问：抛物线解析式
🔑 题眼
抛物线 已经给出二次项系数为 ，只剩 、 两个待定系数，B(3,0)、C(0,3) 两个点正好够用。
💭 思路
把 B、C 两点坐标代入解析式，解二元一次方程组。
✅ 计算
代入 B(3,0)： ⇒ 。
代入 C(0,3)：。
代回得 ⇒ 。
所以抛物线为 ，配方得 ，顶点 ，A(-1,0)。
三、第(2)①问：内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比值
🔑 题眼
EF ∥ BC，而直线 BC 的斜率为 ，所以 EF 与 x 轴正方向夹角为 135°，与 x 轴负方向夹角为 45°，即 ∠AEF=45°。
💭 思路
∠AFE=90° 说明 △AEF 是直角三角形；又因为 ∠AEF=45°，所以它是等腰直角三角形。设 E(e,0)、F(0,e)，用 AF ⟂ EF 列方程求出 ，再分别用直角三角形内切圆、外接圆公式求 、。
✅ 计算
直线 BC 过 B(3,0)、C(0,3)，斜率为 。EF ∥ BC，所以 EF 的斜率也是 。
设 E(e,0)，则 F(0,e)。
AF 的斜率为 ，EF 的斜率为 。
因为 AF ⟂ EF，斜率乘积为 ： ⇒ 。
所以 A(-1,0)、E(1,0)、F(0,1)，AE=2，AF=EF=，△AEF 是等腰直角三角形。
内切圆半径：直角三角形内切圆半径公式 ，其中 、 为直角边， 为斜边。
。
外接圆半径：直角三角形外接圆半径为斜边的一半，。
因此 。
✅ 答案
。
四、第(2)②问： 最小与 △BPE 面积
🔑 题眼
BC 与 x 轴夹角为 45°，所以 BC 上的动点 P 到 x 轴的垂线段 PQ 与 BP 之间满足 。于是 可以变成 ，这是“胡不归”型最小值的典型转化。
💭 思路
第一步：把 转化为 ，利用三角形不等式找到定点 。
第二步：按 F 落在 △AEC 的三条内角平分线上，分三种情况分别求 E。
第三步：用 算面积。
✅ 计算
第一步：求定点 P
设 P 在 BC 上。因为 BC 的解析式为 ，可设 P(p,3-p)。
由于 BC 与 x 轴夹角为 45°，Rt△BPQ 中（Q 为 P 在 x 轴上的垂足），。
因此 （三角形不等式）。
是 M 到 x 轴上动点 Q 的距离，最小值就是 M 到 x 轴的垂直距离。M(1,4)，所以最小值为 4，此时 Q(1,0)。
要让 ，必须 M、P、Q 三点共线。Q(1,0)，所以 P 的横坐标为 1；又 P 在 BC 上，代入 得 P(1,2)。
第二步：分三种情况求 E
设 E(e,0)，由 EF 斜率为 知 F(0,e)。以下按 F 落在 △AEC 的不同内角平分线上讨论。
情况一：F 在 ∠AEC 的角平分线上
EF 斜率为 ，所以 ∠AEF=45°。若 F 在 ∠AEC 的角平分线上，则 ∠CEF=∠AEF=45°，从而 ∠AEC=90°。
E 在 x 轴上，∠AEC=90° 意味着 EC 垂直于 x 轴，所以 E 与原点 O 重合，即 。
情况二：F 在 ∠CAE 的角平分线上
角平分线上的点到角两边距离相等。F(0,e) 到 AE（即 x 轴）的距离为 。
直线 AC 过 A(-1,0)、C(0,3)，方程为 。F 到 AC 的距离为 。
令两边距离相等： ⇒ ⇒ 。
情况三：F 在 ∠ACE 的角平分线上
F 在 y 轴上，而 C 也在 y 轴上，所以直线 CF 就是 y 轴。若 CF 平分 ∠ACE，则 ∠ACO=∠ECO。
又 ∠AOC=∠EOC=90°，OC 公共，所以 △AOC ≌ △EOC（ASA）。于是 OA=OE=1，即 。
第三步：算面积
P 的纵坐标为 2，BE=3-e，所以 。
情况一（）：。 情况二（）：。 情况三（）：。
✅ 答案
△BPE 的面积为 、 或 。
五、写在最后
到第 26 题为止，二次函数代几综合的每日一题就全部完成了。
手写解析版：
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