高考双球与轻杆,初中杠杆原理就能解

上集讲了三把钥匙：正交分解、矢量三角形、力矩平衡。这一篇拿两道高考真题实战——一道是 2025 年海南卷的双球平衡，一道是 2023 年河北卷的轻杆斜面。两道题都给出三种解法，力矩放在最后。

看完你会发现：力矩平衡之所以快，是因为它会把不需要的力直接消掉，而不是因为它算得快。

例题一　2025·海南卷（圆弧＋轻绳双球）

图：2025 年海南卷原题图（P 在左上、Q 在右上，两半径与水平方向分别成 30° 和 60°）。

如图所示，光滑圆弧竖直固定，用轻绳连接两个小球 P、Q，两小球套在圆环上且均处于平衡状态，两小球与圆弧的圆心连线与水平方向的夹角分别为 30° 和 60°，则两球质量之比 m_P:m_Q 为（　　）

A．1:2　　B．1:√3　　C．√3:1　　D．2:1

两半径夹角为 30° + 60° = 90°，绳 PQ 是弦，与两半径的夹角均为 45°。每个球受三个力：重力、圆环支持力（沿半径方向）、绳的拉力 T（沿弦 PQ 方向）。

解法一　正交分解

图：沿切线方向列式，重力分量与拉力分量相抵。

半径与竖直方向的夹角：P 处为 60°，Q 处为 30°；切线垂直于半径，故重力与切线方向的夹角：P 处为 30°，Q 处为 60°。沿切线方向列平衡方程：

两式相除，得

解法二　矢量三角形

图：两只球的力三角形，重力所对的内角都是 45°。

支持力沿半径方向，与绳的夹角为 180° - 45° = 135°，故力三角形中重力所对的内角为 45°；支持力与竖直方向的夹角等于半径与竖直方向的夹角，故拉力 T 所对的内角：P 球为 60°，Q 球为 30°。由正弦定理，得

两式相除，得

解法三　力矩平衡（最快）

图：两个支持力过圆心消失，绳是内力抵消，方程里只剩两个重力。

以两球和轻绳整体为对象，以圆心 O 为转轴。两个支持力沿半径、过 O，力矩为零；绳的拉力是内力，力矩成对抵消。方程里只剩两个重力：

P 与水平方向成 30° 角，重力力臂为 Rcos30°；Q 与水平方向成 60° 角，重力力臂为 Rcos60°。解得

答案：B。

本题小结：绳与半径的夹角，解法一、二都要用；唯独力矩法完全不知道绳的存在——支持力过轴消失、内力成对抵消，方程里只剩想比较的那两个重力。

例题二　2023·河北卷（轻杆＋两垂直斜面）

图：2023 年河北卷原题图（两斜面互相垂直，杆水平架在槽口）。

如图所示，轻质细杆上穿有一个质量为 m 的小球 C，将杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成 30° 角，则左侧斜面对杆支持力的大小为（　　）

A．mg　　B．(√3mg)/2　　C．(√3mg)/3　　D．mg/2

以杆和小球整体为对象，受三个力：左斜面支持力（垂直左斜面，与竖直方向成 30°，记 N₁）、右斜面支持力（垂直右斜面，与竖直方向成 60°，记 N₂）、总重力 mg（竖直向下，作用在 C 点）。两斜面互相垂直，两支持力也互相垂直。

解法一　正交分解

图：沿水平、竖直两个方向分解，两式联立。

沿水平方向和竖直方向分解，得

由第一式解出 N₂ 代入第二式，得

解法二　矢量三角形

图：两支持力互相垂直，三力构成以重力为斜边的直角三角形。

两支持力互相垂直，三力构成的闭合三角形是以重力为斜边的直角三角形；左支持力与竖直方向成 30°，即它与重力方向的夹角为 30°，故

一步写出，连方程组都不用解。

解法三　力矩平衡（最见功底）

图：先用“三力共点”定出小球位置，再对 B 端取矩收网。

第一步，用“三力平衡必共点”定出小球的位置。 设杆长为 L。左支持力的作用线过 A 端、与杆成 60° 角；右支持力的作用线过 B 端、与杆成 30° 角。两作用线互相垂直，设交点为 P。在直角三角形 ABP 中，AB 为斜边，得

重力作用线过 P 点且垂直于杆，故小球 C 到 A 端的距离为 AP 在杆上的投影：

第二步，以 B 端为转轴列力矩平衡（右支持力过转轴，力矩为零）：左支持力的力臂为 Lsin60°，重力的力臂为 L 与 AC 之差，即 3L/4。

解得

答案：B。

本题小结：小球的位置题目没有直接给出，“三力平衡必共点”就是它的隐藏条件——先用共点定位，再取矩收网。这正是“力”与“转动”两套条件的合流处。

结论：三法到底怎么选

一看对象。 所有力过同一点（质点、绳结点）：力矩无意义，只用正交分解和矢量三角形；力的作用点分开的刚体或系统：三法皆可用，而且往往以力矩法最漂亮。

二排顺序。 正交分解保底（一定能做出来），矢量三角形提速（直角三角形、相似三角形常一步出结果），力矩平衡封顶（选好转轴，让支持力、铰链力直接消失）。考试时先用顺手的方法拿分，平时训练务必三法都走一遍——三种方法互为验算。

三看力矩法的适用三要件。

• 研究对象是刚体（或可视为刚体的系统）；转轴不必真实存在，任意一点都行，包括物体外的虚拟点；

• 想绕开的未知力恰好过转轴（支持力过圆心、铰链力过轴、内力成对抵消）；

• 剩下的力臂能用几何关系直接写出。

四道题的三法速度对照：

一条主线：正交分解求的是“每个力”，矢量三角形求的是“力与力之间的关系”，力矩平衡求的是“绕开不需要的力之后的答案”。

给孩子的三句话：先把受力分析画完整，再谈方法；直角三角形和相似三角形出现了，先试矢量三角形；看到圆弧、圆心、杆、铰链，就想想“绕着谁取矩，能让哪些力直接消失”。