2025·泸州这道题把抛物线、正方形存在性和区间最值串成一条链。第(2)问的四边形 是正方形，关键不是去解八元方程组，而是把斜边上的点 用“水平段 + 竖直段”两段表示；第(3)问则是典型的“两函数差在区间内最小值”问题，标准的动轴定区间问题，按对称轴与区间的位置分三段讨论即可。
题源：2025·泸州
类型：二次函数 + 正方形存在性 + 区间最值
难度：⭐⭐⭐⭐
【原题】
一、题眼总览（答案先摆上）
二、第(1)问：抛物线解析式
🔑 题眼
抛物线 经过 和 ，两个点正好定两个系数。
💭 思路
直接把两点坐标代入，解关于 、 的二元一次方程组。
✅ 计算
代入 ： ⇒ 。
代入 ： ⇒ 。
两式相减得 ，所以 ，代回得 。
因此抛物线解析式为 。
三、第(2)问：正方形 与点 的坐标
🔑 题眼
直线 的斜率为 ，且 恰好在该直线上；正方形 的边 落在直线上，， 在 轴上， 在第一象限。
💭 思路
把 到 轴的距离设为 ，利用直线斜率 的关系，把正方形的边长和 到 的距离都用 表示，最后把 的坐标代入抛物线列方程。
第一步：用 表示 、、 的坐标。
设 ， 是 在 轴上的垂足。因为 与直线 平行，斜率也是 ，所以从 到 竖直上升 时，水平前进 ，即 ，。
由于 是正方形，，且 。而 、、 三点共线（都在直线上），所以 ∠ADE = 90°。
在 Rt△ADE 中， 在斜率为 的直线上， 在 轴上，因此 tan∠DAE = ⇒ ⇒ 。
由勾股定理：。
因为 ， 在 右侧，所以 。又 且 在 右侧，所以 ，于是 。
第二步：代入抛物线列方程。
把 代入 ：。
展开整理：，即 ，。
时 落在 轴上，不符合“第一象限”，舍去；故 。
所以 。
✅ 答案
。
⚠️ 易错
展开 时不要漏掉前面的负号；另外 的横纵坐标都用同一个参数 表示，容易把“水平段 ”和“”的位置搞混，建议画图标注 、、、 的相对顺序。
四、第(3)问： 的最小值
🔑 题眼
两个抛物线有相同的横坐标 ，把 整理成只含 和 的二次函数，就会发现它是开口向上的抛物线，对称轴为 。
💭 思路
先作差配方，再按对称轴 与区间 的位置分三类：
✅ 计算
，
。
作差：。
记 ，，开口向上，对称轴 。
情况一：
最小值在 处取得： ⇒ ⇒ ，解得 。
，取 ，舍去 。
情况二：$1
最小值在 处取得： ⇒ ⇒ （ 不在 $1
情况三：
最小值在 处取得： ⇒ ⇒ ，得 ，与 矛盾，舍去。
✅ 答案
或 。
⚠️ 易错
容易把“最小值在端点还是顶点取”搞混。开口向上时，对称轴在区间左侧则左端点最小，在区间内则顶点最小，在区间右侧则右端点最小；每类解出 后务必用前提条件回验。
手写解析版：
往期题目及解析：
免费领｜2026 中考数学压轴题 120 题（含详细解析），覆盖全国 30+ 省市真题
