人教 A 版选必第一册第二章「直线和圆的方程」、第三章「圆锥曲线的方程」基础层 配套：《解析几何基础 · 考点精讲自测题》《解析几何基础 · 自测题答案》。
一句话本质： 解析几何就是把几何关系翻译成代数方程，再用方程算回几何结论。直线是一次方程，圆与三种圆锥曲线是二次方程；选填和大题第（1）问的全部任务，几乎都是"定位置（点、焦点、圆心）、定形状（a、b、c、r）、定关系（距离、弦长、位置关系）"这三件事。
一、知识框架
1. 倾斜角、斜率与直线方程五种形式
定义与公式。 倾斜角 是直线向上方向与 x 轴正方向所成的角，范围 。斜率 ，但 时斜率不存在。过两点 、，当 时 。
直线方程五种形式：
怎么用。 已知一点和斜率优先点斜式；涉及 y 轴交点用斜截式；过两定点用两点式；看到两轴截距才考虑截距式；求交点、判位置关系统一成一般式。一般式中， 时斜率为 。
典型套路。 "直线过定点"类问题把方程整理成"直线系 + 参数系数为 0"的形式，让参数的系数与常数项同时为 0，解出的定点坐标与参数无关；涉及坐标轴围成三角形面积时，先由截距式读出两直角边 、，面积为 ，比求交点快。斜率与倾斜角换算时记住： 对应锐角、 对应钝角，由斜率反求倾斜角要看象限，不能只取反正切的主值。
2. 两直线平行与垂直、交点
设 ，。
平行： 且 （重合是 且 ）； 垂直：。
换成一般式，，：
平行（含重合）：； 垂直：（斜率不存在时照用，是更稳的判定）。
怎么用。 斜率讨论怕漏"竖直直线"，就一律用一般式系数判定。与 平行的直线设为 ；垂直的设为 。两直线交点就是两个方程联立的唯一解；平行时无解，重合时无穷多解。
典型套路。 轴对称中"点关于直线对称"：连线与对称轴垂直（斜率之积为 ）、中点在对称轴上，两个条件列两个方程。
3. 三个距离公式
两点距离：、，则 。 点到直线距离：点 到 ，。 两平行线距离：、，（x、y 系数必须先化成相同）。
怎么用。 用点到直线距离前，方程先化一般式，分母 不要漏开方。三角形"底乘高"中的高，就是第三顶点到对边所在直线的距离。两平行线距离本质上任取一条线上一点，代入点到直线公式；若两式系数成比例但不相同，先整体乘除化成完全一致再套公式，否则结论会错倍数。
4. 圆的两种方程与点、直线、圆的位置关系
标准方程：，圆心 ，半径 r。一般方程：，当 时表示圆，圆心 ，半径 ；等于 0 退化为一个点，小于 0 不表示任何图形。
点与圆： 点到圆心距离 d 与 r 比较， 在圆外、 在圆上、 在圆内。
直线与圆： 圆心到直线距离 d 与 r 比较： 相交、 相切、 相离。相交时弦长 （垂径定理：弦心距、半弦长、半径构成直角三角形）。
圆与圆： 圆心距 d，两圆半径 R、r（）： 外离， 外切， 相交， 内切， 内含。
典型套路。 求弦长先求圆心到直线距离，再用 ，不必硬求交点坐标。两圆公共弦所在直线，把两圆一般方程（二次项系数先化相同）直接相减，二次项消掉得到的一次方程就是公共弦所在直线，它同时也是两圆的根轴；判断两圆相交后再谈公共弦，相切时这条直线退化为过切点的公切线。
5. 圆的切线
过圆上一点 的切线：
圆 ：； 圆 ：。
过圆外一点 有两条切线。求法二选一：（1）设点斜式，用"圆心到直线距离等于半径"列方程，注意检验斜率不存在的那条；（2）设切点，切点既在圆上又与半径垂直，两个条件求解。切线长：圆外点 P 到切点 T，。
6. 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程
椭圆： 平面内到两定点 、 距离之和等于常数 （要求 ）的点的轨迹。标准方程 （，焦点在 x 轴）或交换 x、y（焦点在 y 轴）。恒有 。
双曲线： 到两定点距离之差的绝对值等于常数 （要求 ）的点的轨迹。标准方程 （焦点在 x 轴）。恒有 。焦点在 y 轴时方程写 。
抛物线： 到定点 F（焦点）与定直线 l（准线）距离相等的点的轨迹。标准方程 （，开口向右，焦点 ，准线 ）；其余三种开口为 、、。
怎么用。 定义题直接用距离条件：椭圆见"和"、双曲线见"差的绝对值"、抛物线见"到焦点与到准线相等"；焦点三角形中的周长、边长问题往往用定义一步转化，比坐标法省力。已知曲线上的点，把点代入标准方程是求参数的第一动作；点恰在对称轴或顶点等特殊位置时，可直接读出 a、b、p，不必列方程。
7. 三种曲线的几何性质与离心率
通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长：椭圆与双曲线均为 ，抛物线为 。
离心率求法。 椭圆：；双曲线：。求出 a、b、c 中任意两个的比值即可，不必求具体值。2026 II 卷第 18 题第（1）问就是用通径 配合 定出 ，再得 。
双曲线渐近线对应关系：（左右开）对应 ；（上下开）对应 。等轴双曲线（）的渐近线为 ，离心率 。
抛物线 p 的意义： p 是焦点到准线的距离，恒为正；方程中一次项变量决定对称轴，系数正负决定开口方向： 开口向右， 向左， 向上， 向下。
8. 直线与圆锥曲线相交的基础计算
联立流程（四步）。 （1）设直线（过 y 轴定点设 ，先单独讨论斜率不存在的情形）；（2）与曲线方程联立消元，得关于 x（或 y）的一元二次方程；（3）看判别式 （相交两个点的前提）；（4）用韦达定理写两根之和、两根之积。
弦长公式。 直线与曲线交于 、：
其中 是联立后二次方程的二次项系数。直线为 时直接算纵坐标之差。
中点弦与点差法。 若弦 AB 的中点为 ，对椭圆 ，把 A、B 两点方程相减可推得弦所在直线斜率 ；对双曲线 ，。适用前提仍是直线与曲线有两个不同交点，即 。点差法只能解决"已知中点求斜率"或"已知斜率求中点轨迹"这一类对称问题，算出的是必要条件，最后必须回到判别式验证交点真实存在。
二、易错点
易错点 1：斜率不存在的情形漏讨论
倾斜角为 90° 的直线没有斜率，凡设点斜式 解题，都默认了直线不竖直。求过圆外一点的切线、设直线与圆锥曲线相交时，最容易漏掉 这一条，导致切线少一条、弦长少一解。处理办法：动手前先检验竖直直线是否满足题意；或者全程用一般式系数判平行垂直。
易错点 2：直线方程形式选用不当、截距为 0
截距式 要求两轴截距都存在且不为 0。直线过原点时横纵截距都是 0，不能用截距式；"截距相等"包含截距都为 0 这一解，设 补回来。两点式分母可能为 0，与坐标轴垂直的直线也要单独处理。拿不准时直接写一般式最安全。
易错点 3：两圆相切不分内切、外切
"两圆相切"有两种： 外切、 内切。题目说"两圆相切求某参数"必须分两种情况列方程，常见错误只算外切漏掉内切。2026 II 卷第 9 题 C 项" 时两圆相切"，就是算圆心距 ，与 、 两个边界比对，属基础但要把两种切法都摆出来。
易错点 4：圆锥曲线中 a、b、c 的关系与焦点位置记反
椭圆是 （a 最大），双曲线是 （c 最大），两者差一个符号，背串是高频失分点。判断焦点位置先看标准方程中哪个分母大：椭圆焦点跟着大分母（）走；双曲线焦点跟着正号项走。方程未化成标准形式（如 ）先化 再读 a、b。
易错点 5：双曲线渐近线与方程对应错位
焦点在 x 轴时渐近线是 ，焦点在 y 轴时是 ，a、b 上下位置相反。记忆法：令标准方程右端的 1 换成 0，直接因式分解， 即 ，得到的两条直线就是渐近线，不用背方向。2026 II 卷第 4 题正是用顶点 先定 ，再代点定 ，渐近线为 。
易错点 6：抛物线 p 的符号与开口方向
定义中 p 表示焦点到准线的距离，恒为正数；开口方向由方程里的符号和一次项变量决定，不是由 p 的正负决定。标准写法 默认 向右开；若方程写成 ，应对照 得 、开口向左。读焦点先定对称轴（谁是一次项谁是轴），再按开口方向定焦点坐标。
易错点 7：离心率三类分界 e=1、、 分界混淆
椭圆 （越接近 0 越圆，越接近 1 越扁），抛物线 ，双曲线 。求离心率范围的选择题，先用这个分界把选项分类。椭圆中 小于 1，双曲线中 大于 1，公式记错会直接跨过分界。2024 I 卷第 12 题由焦点弦 与 联立（、）得 、，，与双曲线身份自洽，可用来回头验算。
易错点 8：联立后忽略 Δ>0，韦达定理被滥用
韦达定理对"方程的两个根"恒成立，但不保证两个根是两个不同的实交点。直线与圆锥曲线相交、弦长、中点弦问题，必须先写 再用 、，否则求出的 k 可能对应相切甚至无交点。点差法求出中点弦斜率后，也要代回检验 ：不是每个给定中点都真有一条弦。
三、2024–2026 新高考考情表（仅收基础选填与解答题第（1）问层）
考情小结（观察，非定论）： ①三年六卷，解析几何在选填中几乎每年都有一个"定义或标准方程直接换算"的基础小题，双曲线离心率出现三次（2024 I、2025 I、2026 I），抛物线定义出现两次（2025 II、2026 I），是基础层最稳的得分点；②解答题第（1）问连续三年考"给离心率、轴长、通径等几何条件求标准方程"，套路固定：列 a、b、c 方程求解，2025 II、2026 I、2026 II 三题全是此模型；③圆的位置关系以多选形式出现（2026 II T9，答案 BC），基础判断依赖圆心距与半径比较，已收入自测题精讲；④圆锥曲线解答题的压轴部分（定点定值、范围最值）不在本表，留到模块 ⑬ 下。
四、依据来源
[1] 人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中教科书·数学（A版）选择性必修 第一册（2019版）第二章 直线和圆的方程、第三章 圆锥曲线的方程，电子课本网目录页 http://www.dzkbw.com/books/rjb/shuxue/gzaxzxbx1/001.htm
[2] 人民教育出版社. 普通高中教科书·数学（A版）选择性必修 第一册（2019版）数字教材配套资源 https://www.pep.com.cn/xw/zt/xkzt/gsazy/gsaxbx1/
[3] 中国教育在线高考真题库（原卷与答案解析PDF）. 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学 https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20240611/1718078152_5550.pdf
[4] 锦宏高考. 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学试题及参考答案（官方答案影印版，T12 离心率 3/2 核对源） http://59.110.7.117/upload/file/20240608/1717815860798077378.pdf
[5] 中国教育在线高考真题库. 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）数学试题及答案解析 https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20240609/1717916773_9867.pdf
[6] 锦宏高考. 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）数学试题及参考答案（官方答案影印版，T5 答案 A 核对源） https://www.jhgk.cn/upload/file/20240608/1717815889867001931.pdf
[7] 中国教育在线高考真题库. 2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学试题及答案解析 https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20250611/1749607160_3062.pdf
[8] GaokaoHub 高考真题库. 2025 新课标 I 卷·数学（完整卷与参考答案，交叉核对用） https://gaokaohub.com/paper/2025-xinkebiao-i-math.html
[9] 广东择校网·广东高考信息平台. 2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学真题答案（版本1，T3 答案 D、T18(1) 方程 x²/9+y²=1 独立核对源） https://www.gdjygk.cn/wp-content/uploads/2026/01/2025%E5%B9%B4%E9%AB%98%E8%80%83%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%96%B0%E8%AF%BE%E6%A0%87%E5%85%A8%E5%9B%BD%E2%85%A0%E5%8D%B7%E7%9C%9F%E9%A2%98%E7%AD%94%E6%A1%88%EF%BC%88%E7%89%88%E6%9C%AC1%EF%BC%89.pdf
[10] 中国教育在线高考真题库. 2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）数学试题及答案解析 https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20250613/1749810784_2075.pdf
[11] 锦宏高考. 2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）数学试题及参考答案（官方答案PDF，T6 答案 C、T16(1) 方程核对源） https://www.jhgk.cn/upload/file/20250611/1749606902734089600.pdf
[12] 中国教育在线高考真题库. 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学试题及答案解析 https://static-gkcx.gaokao.cn/upload/zhenti/20260608/1780882894_8535.pdf
[13] 锦宏高考. 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学真题及参考答案（T5 D、T12 √66/6、T18(1) 方程核对源） http://59.110.7.117/upload/file/20260608/1780886758179094231.pdf
[14] 中国教育在线高考真题库. 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）数学试题及答案解析 http://59.110.7.117/upload/file/20260608/1780889599078003768.pdf
[15] 锦宏高考. 2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）数学真题及参考答案（T4 B、T9 BC、T18(1) 离心率核对源；本库另有污染错版卷 ii2026.pdf，未采用） https://www.jhgk.cn/upload/file/20260610/1781056451180075214.pdf
