中考复习第04讲 | 二次根式：概念+性质化简+四则运算（12题精练）

初中数学 · 中考一轮复习 · 第 04 讲

📌 本讲导读
二次根式是中考必考的运算关：选择填空考"有意义条件、最简二次根式、估算"，解答题常把化简求值揉进分式题里一起考。三条主线：被开方数≥0才有意义、化简先提平方因子、加减要化成同类再合并。分母有理化和乘法公式是本讲的两大武器。

一、知识清单

1. 二次根式的概念
形如 √a（a≥0）的式子叫二次根式。⚠️ 判断是不是二次根式看原始形式，不看化简结果：√(−2)×√(−2) 这类写法就不是；而 √(a²)（无论 a 正负）都是二次根式。

2. 有意义的条件
被开方数 ≥ 0。若式子里还有分母，则分母 ≠ 0 也要同时满足——"有意义"问题几乎年年考，两条件缺一不可。

3. 最简二次根式（两个条件）
① 被开方数不含分母（分母中无根号）；
② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式（指数全为1）。
例：√12 = 2√3 化简后才是最简；√(1/3) 要先分母有理化。

4. 同类二次根式
先都化成最简二次根式，被开方数相同的才是同类——与根号外的系数无关。合并方法与合并同类项完全类似：系数相加减，根号部分不变。

5. 核心性质与运算法则
① √(a²) = |a|（必加绝对值，a 正负未知时是头号陷阱）
② √(ab) = √a·√b、√(a/b) = √a/√b（a≥0，b＞0）
③ 乘除：被开方数相乘除，根指数不变；加减：一化、二找、三合并
④ 分母有理化：分母是单项式乘 √a；分母是多项式（如 √3−1）乘它的共轭根式（√3+1），凑平方差。

🔑 记住这三句话
① 结果必须是最简二次根式，分母不含根号；
② √(a²)=|a|，前头没有负号，化简结果不可能是负数；
③ 乘法公式（平方差、完全平方）在二次根式运算里照样好使。

二、题型精讲

题型1有意义条件
例：若式子 √(x−2) + 1/(x−3) 有意义，求 x 的取值范围。

💡 思路：两个条件同时列——x−2≥0 且 x−3≠0，得 x≥2 且 x≠3。多根号的逐个列，带分母的加一条分母≠0，最后用"且"连接。

题型2化简求值（整体思想）
例：已知 x = √2+1，y = √2−1，求 x² + y²。

💡 思路：别硬乘！x+y = 2√2，xy = (√2)²−1² = 1（平方差），x²+y² = (x+y)² − 2xy = 8 − 2 = 6。先算"和与积"再整体代入，是二次根式求值的万能套路。

题型3分母有理化
例：计算 1/(√3−1)。

💡 思路：分子分母同乘 (√3+1)，分母变平方差 = 3−1 = 2，结果 (√3+1)/2。共轭根式一乘，根号搬家。

三、考点分布速查表

四、巩固 12 题

1. 若式子 √(x−2) + 1/(x−3) 有意义，则 x 的取值范围是______。
2. 下列各式中，是最简二次根式的是（　）
   A. √12　B. √(1/2)　C. √6　D. √8
3. 与 √12 是同类二次根式的是（　）
   A. √6　B. √27　C. √18　D. √45
4. 计算：√8 − √18 = ______。
5. 已知 a < −1，化简：√(a² + 2a + 1) = ______。
6. 计算：(√5 + 1)(√5 − 1) = ______。
7. 估算 √10 + 2 的值在（　）
   A. 4 和 5 之间　B. 5 和 6 之间　C. 6 和 7 之间　D. 7 和 8 之间
8. 计算：1/(√3−1) = ______（分母有理化）。
9. 已知 x = √2+1，y = √2−1，则 x+y = ______，xy = ______，x²+y² = ______。
10. 比较大小：3√5 ______ 2√11（填＞、＜或＝）。
11. 已知 y = √(x−4) + √(4−x) + 2，则 x^y = ______。
12. 已知 m = √3+1，n = √3−1，求 m³n − mn³ 的值。

五、逐题解析

1. x≥2 且 x≠3
   。被开方数 x−2≥0、分母 x−3≠0，两个条件同时满足。
2. C
   。√12=2√3（含平方因子4）、√(1/2)=√2/2（被开方数含分母）、√8=2√2 都不是最简；√6 谁也开不动 ✓。
3. B
   。√12=2√3，先都化最简：√27=3√3 ✓；√6、√18=3√2、√45=3√5 被开方数都对不上。
4. −√2
   。√8=2√2、√18=3√2，合并得 (2−3)√2=−√2。注意系数相减后可以是负的，但根号里不能是负的。
5. −a−1
   。√(a²+2a+1)=√(a+1)²=|a+1|；a<−1 ⇒ a+1<0，去绝对值变号——√(a²)=|a| 这步漏绝对值，一半的人栽在这。
6. 4
   。平方差： (√5)²−1²=5−1=4。乘法公式在根式里直接用。
7. B
   。3<√10<4 ⇒ 5<√10+2<6。估值题先夹住 √10。
8. (√3+1)/2
   。分子分母同乘 (√3+1)，分母 3−1=2。结果必须分母无根号。
9. x+y=2√2，xy=1，x²+y²=6
   。xy 用平方差=1；x²+y²=(x+y)²−2xy=8−2=6——先求和与积，再整体代入。
10. ＞
    。都为正，平方比较：45 > 44，所以 3√5 ＞ 2√11。比大小先平方。
11. 16
    。x−4 与 4−x 同时 ≥0 ⇒ x=4，y=0+0+2=2，x^y=4²=16。"一对相反数都在根号下"是非负性经典模型。
12. 8√3
    。m³n−mn³=mn(m²−n²)=mn(m+n)(m−n)；mn=(√3)²−1=2，m+n=2√3，m−n=2，得 2×2√3×2=8√3。提公因式+平方差，一步不硬算。

📇 本讲方法卡
① 有意义：根号列 ≥0，分母列 ≠0，用"且"连；
② 化简：先把被开方数拆成"平方数 × 剩下的"，平方的开出去；
③ √(a²)=|a|——没说 a 正负就必须带绝对值，再按范围去绝对值；
④ 加减：化最简→找同类→合并系数；
⑤ 求值先算"和与积"：x²+y²=(x+y)²−2xy，倒数和=(x+y)/xy；
⑥ 比大小：正数平方比，或同化成系数×同一个根式；
⑦ 分母有理化：单项乘自身，多项乘共轭。

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