初二第四周，分式的概念、基本性质、约分通分都学完了，正式进入分式的运算。很多孩子从整式运算跳到分式运算，一下子不适应：乘法为什么要约分？除法为什么要变倒数？异分母加减为什么要通分？混合运算的顺序到底是什么？今天把分式的运算从乘除到加减、再到混合运算一次讲透，帮孩子顺利跨过这道坎。
一、分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母，先约分再相乘
分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用公式表示就是：
分式乘法的关键技巧：先约分，再相乘。不要先把分子分母都乘起来再约分，那样数字会很大，容易算错。正确的做法是：在相乘之前，先看分子和分母之间有没有公因式，能约分的先约掉，然后再把剩下的部分相乘。
典型例题：计算下面这个分式的乘法。解题过程如下：
这里 3 和 9 约分得 ⅓，x 和 x² 约分得 1/x，2 和 4 约分得 ½，y² 和 y 约分得 y。先约分再相乘，结果简洁明了。
二、分式的除法：除以一个分式等于乘以它的倒数
分式的除法法则：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。也就是说，把除号变成乘号，同时把除式的分子分母颠倒位置。用公式表示就是：
分式除法最容易出错的地方：除号变乘号，除式必须颠倒。很多孩子只把除号变成乘号，但忘记把除式的分子分母颠倒，这就完全错了。记住口诀：除变乘，倒过来。
另外，如果除式是整式（不是分式），可以把它看成分母为1的分式，再取倒数。比如除以 (x-1)，就等于乘以 1/(x-1)。
典型例题：计算下面这个分式的除法，注意先因式分解再约分。解题过程如下：
三、分式的加减法：同分母直接加减，异分母先通分
分式的加减法分为两种情况：同分母分式加减和异分母分式加减。
同分母分式加减：分母不变，分子相加减。用公式表示就是：
异分母分式加减：先通分，变成同分母分式，再按同分母分式加减的法则计算。通分的关键是找最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积。
通分的步骤：第一步，把各分母因式分解；第二步，找出所有不同的因式，取最高次幂，相乘得到最简公分母；第三步，每个分式的分子分母同乘适当的因式，使分母变成最简公分母；第四步，按同分母分式加减法则计算。
典型例题：计算下面这个异分母分式的加法。解题过程如下：
这里最简公分母是 (x-1)(x+1)，也就是 x²-1。第一个分式分子分母同乘 (x+1)，第二个分式分子分母同乘 (x-1)，变成同分母后分子相加，最后约分得到结果。
四、分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的
分式的混合运算顺序和有理数的混合运算顺序一样：第一，先算乘方；第二，再算乘除；第三，最后算加减；第四，有括号的先算括号里面的。同级运算从左到右依次进行。
混合运算的解题技巧：第一，能因式分解的先因式分解，方便约分；第二，乘除运算统一成乘法，方便整体约分；第三，加减运算先通分，注意符号；第四，最终结果要化成最简分式或整式。
典型例题：计算下面这个分式的混合运算。解题过程如下：
这道题先算括号里的异分母减法，通分后分子相减得到 4x；然后把除法变成乘法，除式取倒数；最后整体约分得到 1/(x+2)。注意每一步的符号和约分，这是混合运算最容易出错的地方。
五、高频易错点TOP5，每条都有孩子踩过
第一，分式除法不变倒数。除以一个分式，必须把除号变成乘号，同时把除式的分子分母颠倒。很多孩子只变除号不变倒数，这是最常见的错误。
第二，通分时分子漏乘。异分母分式加减通分时，每个分式的分子分母都要同乘适当的因式。有的孩子只把分母乘了，分子忘记乘，导致结果错误。
第三，去括号时符号错误。分式加减中，分子是多项式时，去括号要注意符号。比如 (2x-1)-(x+3)，正确结果是 2x-1-x-3=x-4，但有的孩子写成 2x-1-x+3，第二个括号的符号没变。
第四，运算顺序搞错。混合运算必须先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号里的。有的孩子看到加减就先算加减，看到乘除就先算乘除，不按顺序来，结果完全错。
第五，结果没有化成最简分式。分式运算的最终结果必须化成最简分式，也就是分子分母没有公因式。有的孩子算完就停了，没有检查是否还能约分，导致结果不规范。
六、典型题目精练
典型题1（基础题，分式乘除）：计算下面这个分式的乘除混合运算。解题过程如下：
解析：第一步，把除法变成乘法，除式取倒数；第二步，对分子分母进行因式分解：a²-b²=(a+b)(a-b)，a²+ab=a(a+b)；第三步，整体约分：(a+b)约掉，(a-b)约掉，a约掉，最后结果等于1。
易错提醒：因式分解是分式乘除的基础，a²-b² 要用平方差公式分解，a²+ab 要提取公因式 a。如果不先因式分解就直接乘，数字会很大，无法约分。
典型题2（中档题，分式加减）：计算下面这个异分母分式的减法。解题过程如下：
解析：第一步，因式分解分母：x²-1=(x+1)(x-1)；第二步，找最简公分母 (x+1)(x-1)；第三步，通分：第二个分式 1/(x-1) 分子分母同乘 (x+1)；第四步，分子相减：2-(x+1)=1-x；第五步，约分：(1-x) 和 (x-1) 互为相反数，约分得 -1，最终结果是 -1/(x+1)。
易错提醒：分子相减时，第二个分子是 (x+1)，前面是减号，去括号后每一项都要变号：2-(x+1)=2-x-1=1-x。很多孩子写成 2-x+1，这是去括号符号错误。另外，1-x 和 x-1 互为相反数，可以约分得 -1，不要漏掉这个负号。
写在最后
分式的运算是初二代数的重点，也是后面学习分式方程、函数的基础。把乘法的先约分再相乘、除法的除变乘倒过来、加减法的先通分再加减、混合运算的先乘方再乘除最后加减这四条法则用熟练，孩子就能顺利掌握分式运算。后面我们还会学习分式方程，那是分式运算的进一步应用。
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