y = ax² + bx + c （a、b、c 为常数，a ≠ 0）
三个提醒①a ≠ 0 是硬性条件，a = 0 就不是二次函数；②b、c 可以为 0，如 y = 2x²、y = x² − 1 都符合；③自变量取全体实数，图像是一条完整的抛物线。
二、二次函数的三种表达式
同一个二次函数可以有三种写法。选对形式，往往能省一半计算量。关键看题目给了什么条件。
选式口诀三点用一般式，顶点用顶点式，两交点用交点式。
如果条件交叉（比如既给了对称轴又给了交点），就优先用更特殊的那个形式，因为计算更省事。
三种形式的转化一般式配方 → 顶点式；一般式令 y = 0 解方程 → 交点式；交点式展开 → 一般式。三者本质相同，图像完全一样，只是「看问题的角度」不同。
三、图像与性质
1. 抛物线的基本形状
2. 系数 a、b、c 的意义
| 系数 | 决定什么 | 判断方法 |
|---|---|---|
| a | ||
| b | 左同右异 | |
| c | ||
| Δ |
3. 对称轴、顶点与增减性
| 情况 | 对称轴左侧 | 对称轴右侧 | 最值 |
|---|---|---|---|
| a > 0 | |||
| a < 0 |
四、最值问题
x = −b2a时，y 的最值 = 4ac − b²4a
a > 0 取最小值；a < 0 取最大值
| 类型 | 特点 | 求法 |
|---|---|---|
| 无范围限制 | ||
| 有范围限制 |
易错有范围限制时，不能直接套顶点公式。必须比较顶点和两个端点，看哪个最大或最小。画草图能有效避免出错。
五、与一元二次方程的关系
令 y = 0，二次函数 y = ax² + bx + c 就变成一元二次方程 ax² + bx + c = 0。抛物线与 x 轴的交点情况，由判别式 Δ = b² − 4ac 决定。
| 判别式 | 方程根的情况 | 抛物线与 x 轴 |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 两个 | |
| Δ = 0 | 一个 | |
| Δ < 0 | 没有 |
六、图像的平移变换
y = ax² ⟶ y = a(x − h)² + k
| 平移方向 | 顶点式变化 | 口诀 |
|---|---|---|
| 左加右减 | ||
| 上加下减 | ||
易错「左加右减」是对 x而言的，不是对括号整体。比如 y = x² 向右平移 2 个单位，得 y = (x − 2)²，而不是 y = x² − 2。
七、例题精讲
根据下列条件，分别求二次函数的解析式，并说明选用了哪种形式：
(1)图像过点 (−1, 0)、(1, −4)、(3, 0)；
(2)顶点为 (2, −1)，且过点 (0, 3)；
(3)与 x 轴交于 (−2, 0)、(4, 0)，且过点 (0, −4)。
(1)选用一般式——给的是三个普通点，没有明显顶点或交点信息。
设 y = ax² + bx + c，代入三点：
a − b + c = 0 … ①
a + b + c = −4 … ②
9a + 3b + c = 0 … ③
② − ① 得 2b = −4，所以 b = −2。
③ − ② 得 8a + 2b = 4，代入 b = −2：8a − 4 = 4，得 a = 1。
代入 ①：1 + 2 + c = 0，得 c = −3。
所以 y = x² − 2x − 3。
注意：这道题也可以用交点式，因为 (−1, 0)、(3, 0) 正好是 x 轴上的两点。但如果题目给的三点都不在 x 轴上，就必须用一般式。
(2)选用顶点式——题目直接给出了顶点。
设 y = a(x − 2)² − 1。
代入 (0, 3)：3 = a(0 − 2)² − 1 = 4a − 1，得 a = 1。
所以 y = (x − 2)² − 1，展开得 y = x² − 4x + 3。
(3)选用交点式——题目给出了与 x 轴的两个交点。
设 y = a(x + 2)(x − 4)。
代入 (0, −4)：−4 = a(0 + 2)(0 − 4) = −8a，得 a = 1/2。
所以 y = ½(x + 2)(x − 4)，展开得 y = ½x² − x − 4。
小结选对形式是第一步：三点用一般式，顶点用顶点式，两交点用交点式。选对了，计算量能省一半。
已知二次函数 y = −2x² + 4x + 6。
(1)求开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)求与 x 轴、y 轴的交点坐标；
(3)当 −1 ≤ x ≤ 3 时，求 y 的最大值和最小值。
(1)a = −2 < 0，开口向下。
对称轴：x = −b/(2a) = −4/(−4) = 1。
顶点纵坐标：y = −2(1)² + 4(1) + 6 = 8。
所以顶点为 (1, 8)。
(2)与 y 轴交点：令 x = 0，得 y = 6，即 (0, 6)。
与 x 轴交点：令 y = 0，−2x² + 4x + 6 = 0，两边除以 −2：
x² − 2x − 3 = 0 ⟹ (x − 3)(x + 1) = 0
得 x = 3 或 x = −1，即交点为 (−1, 0) 和 (3, 0)。
(3)顶点 x = 1 在区间 [−1, 3] 内，且开口向下，所以顶点处取最大值：
ymax= 8（当 x = 1 时）
最小值在端点处。分别计算：
x = −1 时，y = 0；x = 3 时，y = 0
两端点函数值相同，所以 ymin= 0。
求二次函数 y = x² − 4x + 3在下列区间上的最值：
(1)0 ≤ x ≤ 5； (2)3 ≤ x ≤ 5。
先配方：y = (x − 2)² − 1，对称轴 x = 2，顶点 (2, −1)，开口向上。
(1)顶点 x = 2 在 [0, 5] 内，所以最小值在顶点处：
ymin= −1（x = 2 时）
最大值在离对称轴较远的端点处。x = 0 距 2 有 2 个单位，x = 5 距 2 有 3 个单位，5 更远，所以取 x = 5：
y = 25 − 20 + 3 = 8
所以 ymin= −1，ymax= 8。
(2)顶点 x = 2 不在 [3, 5] 内。在 [3, 5] 上，抛物线处于对称轴右侧，y 随 x 增大而增大，所以：
x = 3 时取最小值：y = 0；x = 5 时取最大值：y = 8
所以 ymin= 0，ymax= 8。
关键有范围限制时，先判断顶点是否在区间内。顶点在区间内 → 顶点取一个最值；顶点不在区间内 → 两个最值都在端点处取。
二次函数 y = ax² + bx + c的图像开口向下，与 x 轴交于 (−1, 0) 和 (3, 0) 两点，与 y 轴交于正半轴。
判断下列各式的符号：(1)abc；(2)a + b + c；(3)4a + 2b + c；(4)b² − 4ac。
由开口向下知 a < 0；由与 y 轴交于正半轴知 c > 0；
由两交点为 (−1, 0)、(3, 0)，对称轴为 x = (−1 + 3)/2 = 1。
对称轴 x = −b/(2a) = 1，得 b = −2a。因为 a < 0，所以 b > 0。
(1)a < 0，b > 0，c > 0，所以 abc < 0。
(2)a + b + c就是 x = 1 时的函数值。x = 1 在两根之间，函数值大于 0，所以 a + b + c > 0。
(3)4a + 2b + c就是 x = 2 时的函数值。x = 2 在对称轴右侧且在两根之间，所以函数值大于 0，4a + 2b + c > 0。
(4)图像与 x 轴有两个交点，所以 Δ = b² − 4ac > 0。
技巧判断含 a、b、c 的代数式符号，常用方法：① 看开口定 a；② 看与 y 轴交点定 c；③ 看对称轴定 b；④ 把式子对应到某个 x 处的函数值。
某商店销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 60 元时，每天可卖出 100 件；售价每上涨 1 元，每天少卖出 5 件。设售价为 x 元（x ≥ 60）。
(1)用含 x 的式子表示每天的销售量；
(2)求每天的利润 W 与 x 的函数关系式；
(3)售价定为多少时，每天利润最大？最大利润是多少？
(1)售价从 60 元上涨到 x 元，涨了 (x − 60) 元，每天少卖 5(x − 60) 件：
销售量 = 100 − 5(x − 60) = 400 − 5x
因为销售量不能为负，所以 x ≤ 80，即 60 ≤ x ≤ 80。
(2)每件利润 = (x − 40) 元，所以
W = (x − 40)(400 − 5x) = −5x² + 600x − 16000
(3)配方：
W = −5(x² − 120x) − 16000 = −5(x − 60)² + 2000
因为 a = −5 < 0，开口向下，所以当 x = 60时 W 最大。
但要注意：x = 60在定义域 [60, 80] 内，所以
售价定为 60 元时，每天利润最大，最大利润为 2000 元。
检验：售价 60 元时，销售量 = 100 件，利润 = 100 × 20 = 2000 元 ✓
应用题三步走① 设自变量，写函数关系式；② 配方或求顶点，找到最值点；③ 检验最值点是否在定义域内。
八、易错点归纳
1. 忽略 a ≠ 0。题目中说「函数 y = ax² + bx + c 是二次函数」，就隐含 a ≠ 0。若求出的 a = 0，要舍去。
2. 平移方向写反。「左加右减」是对 x 而言，y = x² 向右平移 2 个单位得 y = (x − 2)²。
3. 有范围限制时直接套顶点公式。顶点不在范围内时，最值在端点处取，必须比较端点值。
4. 判别式与交点关系记反。Δ > 0 两个交点，Δ = 0 一个交点，Δ < 0 没有交点。
5. 配方时符号出错。提取 a 时括号内每一项都要除以 a，别漏了常数项。
6. 应用题忘记检验取值范围。销售量不能为负，售价不能低于进价，这些都要写成不等式限制 x 的范围。
检查清单做完一道二次函数题，问自己三件事：① 用的是哪种表达式？② 最值点是否在范围内？③ 有没有忘记 a ≠ 0？
九、随堂练习
基础题
1. 求抛物线 y = x² − 2x − 3 的对称轴、顶点、与坐标轴的交点。
2. 已知抛物线顶点为 (−1, 2)，且过点 (0, 0)，求其解析式。
3. 抛物线过 (−2, 0)、(1, 0)、(0, −2)，求解析式。
提高题
4. 求 y = −x² + 6x − 5 在 0 ≤ x ≤ 5 上的最值。
5. 已知 y = ax² + bx + c 的图像开口向上，对称轴为 x = 1，判断 b、c 的符号，并说明 a + b + c 与 a − b + c 的符号。
压轴题
6. 某商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元时，每月可卖出 300 件。售价每上涨 1 元，每月少卖 10 件。设售价为 x 元。
(1) 用含 x 的式子表示月销售量；
(2) 求月利润 W 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
(3) 售价定为多少时，月利润最大？最大利润是多少？
参考答案要点
1. 对称轴 x = 1，顶点 (1, −4)，与 x 轴交于 (−1, 0)、(3, 0)，与 y 轴交于 (0, −3)。
2. 设 y = a(x + 1)² + 2，代入 (0, 0) 得 a = −2，即 y = −2(x + 1)² + 2。
3. 设 y = a(x + 2)(x − 1)，代入 (0, −2) 得 a = 1，即 y = x² + x − 2。
4. 配方得 y = −(x − 3)² + 4，顶点 x = 3 在 [0, 5] 内，所以最大值 4；两端点 x = 0 时 y = −5，x = 5 时 y = 0，所以最小值 −5。
5. 对称轴 x = 1 得 b = −2a，a > 0 所以 b < 0；c 看 y 轴交点，若交于正半轴则 c > 0；a + b + c 是 x = 1 时的函数值，a − b + c 是 x = −1 时的函数值，结合图像判断符号。
6. (1) 销售量 = 300 − 10(x − 40) = 700 − 10x，x 范围为 40 ≤ x ≤ 70；
(2) W = (x − 30)(700 − 10x) = −10x² + 1000x − 21000；
(3) 配方得 W = −10(x − 50)² + 4000，x = 50 在范围内，所以售价 50 元时利润最大，最大利润 4000 元。
