初二基础篇 | 三角形的外角：外角定理与它的四类考法（12题精练）

初中数学 · 人教版八上 13.4 · 基础篇（第 25 期）

📌 本讲导读
"三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和"——这是整章最省步数的一条定理：能跳过"先求第三角"，直接一步出答案。本讲四类考法：直接求外角、由外角反求内角、外角配平行线、外角配角平分线。12 题精练，要求每题写清"用了哪两个不相邻的内角"。

一、知识清单

1. 外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
每个顶点处有 2 个外角（互为对顶角，度数相等），所以三角形一共 6 个外角，只有 3 组不同的度数。

2. 外角定理（本讲核心）
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
符号语言：∠ACD 是 △ABC 在点 C 处的外角 ⇒ ∠ACD = ∠A + ∠B。
推导：∠ACD + ∠ACB = 180°（邻补角），∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（内角和），两式相减即得。

3. 推论：外角大于任何一个不相邻的内角
因为外角 = 两不相邻内角之和，而内角都是正数，所以外角一定比其中任何一个都大。

4. 三角形的外角和 = 360°
每个顶点各取一个外角，三个外角的和恒为 360°，与三角形的形状无关。

💡 自查口诀：看到"外角"，先找它不相邻的那两个内角——和就是它，不用绕道求第三个角。

二、题型精讲

题型 1直接求外角
△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，求点 C 处的外角 ∠ACD。

思路：∠ACD=∠A+∠B=50°+60°=110°。
💡 与"先求 ∠ACB=70°，再算 180°−70°"相比，少一步、少一次出错机会。

题型 2由外角反求内角
△ABC 中，∠B=70°，点 C 处的外角为 120°，求 ∠A。

思路：外角=∠A+∠B ⇒ ∠A=120°−70°=50°。
💡 公式正用反用同一句：外角等于两个不相邻内角之和。知二求一。

题型 3外角配平行线（拐点题）
AB∥CD，点 E 在两条平行线之间，∠A=45°，∠C=30°，求 ∠AEC。

思路：延长 AE 交 CD 于点 F，则 ∠A=∠EFC=45°（两直线平行，内错角相等），∠AEC=∠EFC+∠C=45°+30°=75°（外角定理）。
💡 结论可直接记：两个平行线之间的"拐角"= 左右两角之和。

题型 4外角配角平分线
△ABC 中，∠ABC 的平分线与点 C 处外角 ∠ACD 的平分线交于点 E，∠A=40°，求 ∠E。

思路：设 ∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y。
由外角：2y = 2x + ∠A；又 ∠ECD = ∠EBC + ∠E ⇒ y = x + ∠E。两式对照得 ∠E = ½∠A = 20°。
💡 通式：内角平分线与外角平分线的交角 = ½∠A，填空题直接秒。

三、基础篇 vs 培优篇：外角定理的两种深度

四、巩固练习（12 题）

1. △ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则点 C 处的外角 =______。
2. 三角形的一个外角______与它不相邻的任何一个内角（填"大于 / 等于 / 小于"）。
3. △ABC 中，∠B=70°，点 C 处的外角为 120°，则 ∠A=______。
4. 三角形三个外角（每个顶点各取一个）的和等于______度。
5. △ABC 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则与 ∠C 相邻的外角 =______。
6. △ABC 中，∠A=55°，∠B 处的外角为 130°，则 ∠C=______。
7. AB∥CD，点 E 在两条平行线之间，∠A=45°，∠C=30°，则 ∠AEC=______。
8. Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 处的外角为 130°，则 ∠B=______。
9. △ABC 中，∠ABC 的平分线与点 C 处外角的平分线交于点 E，若 ∠A=40°，则 ∠E=______。
10. △ABC 中，∠B=∠C，∠A 处的外角为 140°，则 ∠B=______。
11. 三角形的一个外角是它相邻内角的 3 倍，则这个外角等于______度。
12. 五角星五个"尖角"的和等于______度。（提示：每个尖角都是某个三角形的外角）

五、答案与解析

1. 110°
   。外角=∠A+∠B=50°+60°。
2. 大于
   。外角=两不相邻内角之和，必然大于其中任何一个。
3. 50°
   。∠A=120°−∠B=120°−70°，外角公式反用。
4. 360
   。外角和恒为 360°，与边数、形状无关。
5. 100°
   。设三角为 2x、3x、4x，和为 180° ⇒ x=20°，∠A=40°、∠B=60°、∠C=80°；与 ∠C 相邻的外角=∠A+∠B=100°。
6. 75°
   。∠B 处外角 130° ⇒ ∠B=50°；∠C=180°−55°−50°=75°。
7. 75°
   。延长 AE 交 CD 于 F，∠EFC=∠A=45°，∠AEC=∠EFC+∠C=75°。
8. 40°
   。∠A 处外角 130° ⇒ ∠A=50°，∠B=90°−50°=40°。
9. 20°
   。内角平分线与外角平分线的交角=½∠A=20°。
10. 70°
    。∠A 处外角 140° ⇒ ∠A=40°，∠B=∠C=(180°−40°)÷2=70°。
11. 135
    。设相邻内角为 x，则外角 3x，x+3x=180° ⇒ x=45°，外角=135°。
12. 180
    。五角星每个尖角是其所在三角形的外角，五个角通过外角转移可拼成一个三角形的三个内角，和为 180°。

🎯 本讲方法卡
① 见外角就想 外角 = 两个不相邻内角之和，知二求一。
② 反用公式求内角时，别忘"先减掉已知的那个内角"。
③ 平行线拐角：拐角 = 左右两角之和，延长一次即可证明。
④ 两个通式记牢：外角和 360°；内、外角平分线交角 = ½∠A。

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下期预告：培优篇《三角形的折叠求角》：三类折叠模型与外角定理
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