2026上海高考之后|这类数学题,我建议高三学生认真做一遍

从可加函数到凸函数，再到信息熵

一道题看懂上海高考越来越重视的陌生定义阅读、结构识别、递进探究与迁移应用。

作者：数学衣老师

为什么我会选这道题？

今年上海高考数学结束以后，我一直在关注最后一道题。对现在的上海考生来说，有一类能力越来越值得单独训练：拿到一个没见过的定义，先把定义读懂，再从题目已经给出的信息里找到工具，最后把前面的结论迁移到新的情境。

2026 年上海高考数学官方评析提到，试卷关注思维的逻辑性、严谨性、灵活性和深刻性，贯彻多思少算的理念。最后的函数解答题从熟悉对象出发引入新概念，再逐层探索其本质和性质，并强调从特殊到一般的探究过程。

上实这道可加函数题和 2026 上海高考第 21 题在设问方式和推进思路上有着很相似的感觉。

这道题的三个小问看起来跨度很大。

➡️第一问研究可加函数，

➡️第二问进入凸函数，

➡️第三问突然出现概率和信息熵。

学生如果习惯按章节找题型，第三问很容易失去方向。真正看懂以后会发现，三问之间连接得非常紧。

题目

若函数  在区间  上满足  ，对任意  成立，则称  为  上的可加函数。

(1) 若区间  上的可加函数  严格减，证明：

(2) 若对任意  及满足  的正数  ，都有

则称函数  是区间上的凸函数。

若对给定正整数  ，任意  及满足  的正数  ，

都有

（可左右滑动查看公式）

证明：对n+1个变量，上述结论仍成立。

(3) 随机变量  的可能取值为  ,  , 且  。随机变量  时提供的信息量为  , 信息熵  定义为信息量的数学期望。证明: 当  时,

第一问：难度不大，突破口就是把两个条件接起来

第一问表面上要证明一个平均值不等式。题目却给了两个看起来方向不同的条件：一个是  ，另一个是  严格递减。

我给学生讲这一问时，会先问一句：左边的  能不能利用可加条件重新写成一个函数值？

但目标式左边还有一个1/2。

继续利用可加性，把xy写成两个相同因子的乘积：

因此

到这里，原来的函数不等式已经被转化成了自变量之间的比较。由基本不等式

再利用f严格递减，得到

所以

第一问值得复盘的动作：先利用可加性把函数值之和压成一个函数值，再利用单调性把问题转回自变量大小关系。中间的桥梁就是我们都熟悉的  。

学生最容易卡在哪里呢？

很多学生会分别看到可加性、单调性、基本不等式，却不知道三者怎么连。这里真正训练的是条件之间的连接能力。

看到f(x)+f(y)，要想到 xy。

看到平均形式，要想到能否构造两个相同因子。

看到严格递减，要想到先比较自变量。

第二问：从两个变量走到任意多个变量

第二问的式子很长，但读题时先不要被符号带走。最重要的一句话只有一个：已知n个变量的结论成立，证明n+1个变量也成立。

看到已知n个成立，证明n+1个成立，优先问自己：能不能把 n+1个对象合并成n个对象？

这里最自然的做法，就是把最后两个权重  和  打包。

（可左右滑动查看公式）

括号中的两个新权重之和恰好等于1，因此可以直接使用题目给出的二元凸函数性质：

于是最后两个点被压缩成了一个新的点。

原来的n+1个对象，变成了n个对象。

再使用已知的n元结论，就得到

（可左右滑动查看公式）

证明完成。

这一问要复盘总结什么？

数学归纳法里最难的部分从来不是写出假设 n 时成立。

真正的关键是怎样把  的结构改造成手里已经会处理的 n 的结构。这道题给出的解法非常漂亮：把最后两个权重归一化，再利用二元凸性完成合并。

第三问：整道题最精彩的一问

第三问突然出现信息熵：

如果把这一问单独拿出来，绝大部分同学会觉得背景陌生。但如果记得第二问，题目其实已经给出了明显提示。

第二问反复出现的条件是权重之和等于 1。第三问恰好告诉我们

这时就应该敏感：第三问很可能要调用第二问的多元凸函数结论。

第一步：从目标式倒着找函数

信息熵中出现  。

第二问能够处理的是若干个  的加权和。为了让函数值直接产生  ，自然考虑

在  上补充定义  。

这里的  不是凭感觉猜出来的。

它来自目标式。看到  ，再回看第二问需要一个函数  ，函数的选择就有了明确的方向。

第二步：先证明这个工具真的能用

不能看到  就直接套第二问。

第二问要求的是题目所定义的凸函数性质，因此必须先验证h满足

参考解答采用导数构造来完成验证。

若 x,y>0，可在适当区间构造

其导数为

当  时，

有  ，

因此  。

结合端点比较可得到所需不等式。  或  的情形也可直接验证。

于是  满足第二问中的凸函数条件。

第三步：让第二问精准落到信息熵

现在在第二问的多元结论中取

于是

因为  ，所以

两边乘以 n:

再乘以-1，不等号反向：

也就是

至此第三问完成。

这道题好在哪里？

1

三问一直在换外壳，

 结构却一直在延续。

第一问是可加函数，第二问是凸函数，第三问是概率和信息熵。表面跨度很大，内部一直围绕平均、权重、函数值之间的关系推进。学生能否从陌生表述中认出熟悉结构，决定了第三问有没有方向。

2

前一问不是铺垫文字，

而是后一问的工具。

第一问先让学生体验二元关系。第二问把二元关系推广到多元。第三问再把多元结论放进一个新的信息论背景。整个推进可以概括成

这种层层递进的设问，比单独考一个技巧更能区分学生对数学结构的理解深度，这非常符合上海高考压轴题的风格。

做到第三问时，如果把前两问忘掉，从头研究信息熵，难度会陡增。真正有效的阅读方式，是不断问前一问给了我什么，当前条件和前面的哪个结构相似，目标式在提醒我构造什么。

它和 2026 上海高考的

联系在哪里？

虽然这道题和 2026 上海高考第 21 题的具体定义不同，也不能简单说成同类题。它们更接近的是命题语言和能力要求。

2026 上海高考数学专家评析指出，最后的函数解答题以熟悉对象为抓手引入新概念，从体验新概念，到探索其本质，再到深入研究函数的新性质，设问层层递进，并引导考生运用从特殊到一般的思想方法。评析同时强调多思少算，关注逻辑性、严谨性、灵活性和深刻性。

回头看这道可加函数题，也能看到非常相似的训练路径：

（可左右滑动查看）

真正值得我们训练的，其实不是记住可加函数或者信息熵这一道题，而是面对新定义时怎样现场组织已有知识。

拿给学生，

我最后一定会追问这三个问题

第一，第一问为什么会想到  ？

如果回答只是因为答案这么写，说明这一问还没有真正掌握。必须能讲清楚：  先变成  ，为了处理外面的 1/2，再把 xy 写成两个相同因子的乘积。

第二，第二问为什么要合并  和  ？

因为手里只有 n 元结论。要证明  元，必须主动把问题降回 n 元。

第三，第三问为什么想到  ？

因为目标中已经出现  ，而第二问需要一个函数值结构。函数是从目标式倒着构造出来的。

这三个问题如果学生能脱离答案自己讲清楚，我才会认为这道题真正做完了。

现在上海高考的综合题，越来越难靠见过原题解决。题目可以给一个全新的名字，也可以换一个完全陌生的背景，但高中阶段真正能调用的知识和方法仍然有限。谁能更快识别结构，谁就更容易找到第一步。

我很喜欢这道题，因为它没有靠繁琐计算制造难度。第一问入口不高，第二问开始要求学生主动组织结构，第三问把前面建立的工具放进信息熵背景。每一步都能继续追问为什么。

对高三学生来说，这类题最有价值的练法也不是把答案抄一遍。做完以后，把答案盖住，再回答三个问题：

这一步为什么能想到，

前一问到底给了什么，

如果背景换掉还能不能认出同一个结构。

能把这些问题搞清楚，

一道题才真正变成自己会的东西。