初二开学第四周，几何部分学完了，正式进入代数世界的分式。很多孩子从整式跳到分式，一下子不适应：分式和分数有什么区别？分式的基本性质怎么用？约分和通分怎么操作？今天把分式的基本概念、基本性质和约分通分的方法一次讲透，帮孩子顺利跨过从整式到分式这道坎。
从整式到分式，代数世界又打开了一扇新的大门
一、分式的概念：什么是分式
小学学的分数，分子分母都是具体的数字。到了初二，分母里出现了字母，这就是分式。一般地，如果A和B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A除以B就叫做分式。A叫做分子，B叫做分母。
这里有几个关键点必须搞清楚：第一，分母中必须含有字母，这是分式和整式最根本的区别。比如x除以3，分母是3，不含字母，所以它是整式；3除以x，分母是x，含有字母，所以它是分式。第二，分式的分母不能为0，这和分数的分母不能为0是一样的道理。第三，单独的一个数或字母是整式，不是分式。
分式有意义的条件是分母不为0。比如分式1除以(x-2)，当x等于2时，分母为0，分式无意义；当x不等于2时，分式有意义。做题时如果题目问x取什么值时分式有意义，就是让分母不等于0，解出x的取值范围。
分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。这两个条件缺一不可。比如分式(x-1)除以(x+2)，当x等于1时，分子为0，分母为3不为0，所以分式值为0；但如果x等于负2，虽然分子为负3不为0，但分母为0，分式无意义，更谈不上值为0了。很多孩子只记得分子为0，忘记分母不能为0，这是最常见的错误。
二、分式的基本性质
分式的基本性质和分数的基本性质完全一样：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示就是：A除以B等于A乘C除以B乘C，也等于A除以C除以B除以C，其中C是不等于0的整式。
这个性质是分式约分和通分的理论依据，必须牢牢记住。这里要注意C不能为0，如果C为0，分子分母同乘0后分式就变成了0除以0，无意义。
分式还有一个重要的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。也就是说，分子分母同时变号，分式值不变；分子和分式本身同时变号，分式值不变；分母和分式本身同时变号，分式值不变。但如果只改变其中一个符号，分式的值就变成原来的相反数。
典型例题：不改变分式的值，把分式(负x加1)除以(x减2)的分子和分母的最高次项系数都化为正数。分子的最高次项是负x，系数为负；分母的最高次项是x，系数已经为正。所以只需要把分子的负号提出来，变成负的(x减1)，然后利用符号法则，把分子的负号移到分式本身前面，得到负的(x减1)除以(x减2)。这样分子分母的最高次项系数都是正数了。
约分和通分，是分式运算的两大基本功
三、约分：把分式化成最简分式
约分就是根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，使分式变得更简单。约分的结果应该是最简分式，也就是分子和分母没有公因式的分式。
约分的步骤是：第一步，把分子和分母分别因式分解；第二步，找出分子和分母的公因式；第三步，约去公因式，得到最简分式。
找公因式的方法：系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂。比如分子是6x²y，分母是9xy²，系数的最大公约数是3，相同字母x的最低次幂是x，相同字母y的最低次幂是y，所以公因式是3xy。约去后得到2x除以3y。
如果分子或分母是多项式，必须先因式分解再约分。比如分式(x²-1)除以(x+1)，分子x²-1可以因式分解为(x+1)(x-1)，然后约去公因式(x+1)，得到x-1。这里要注意，不能直接把x²和x约掉，因为x²-1是一个整体，必须先因式分解。
典型例题：约分(2x²-4x)除以(x²-4)。第一步，分子因式分解：2x²-4x=2x(x-2)；第二步，分母因式分解：x²-4=(x+2)(x-2)；第三步，找公因式：(x-2)；第四步，约去公因式，得到2x除以(x+2)。
四、通分：把异分母分式化成同分母分式
通分就是根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式。通分是分式加减运算的基础，必须熟练掌握。
通分的关键是确定最简公分母。最简公分母的确定方法：第一，系数取各分母系数的最小公倍数；第二，字母取各分母中所有出现的字母；第三，相同字母取最高次幂。
比如分式1除以(2x)和1除以(3y²)，分母分别是2x和3y²。系数的最小公倍数是6，出现的字母有x和y，x的最高次幂是x，y的最高次幂是y²，所以最简公分母是6xy²。
如果分母是多项式，必须先因式分解再确定最简公分母。比如分式1除以(x²-1)和1除以(x+1)，先把x²-1因式分解为(x+1)(x-1)，然后确定最简公分母是(x+1)(x-1)。
通分的步骤：第一步，把各分母因式分解；第二步，确定最简公分母；第三步，根据分式的基本性质，把每个分式的分子分母同乘一个适当的整式，使分母变成最简公分母。
典型例题：通分1除以(x²-x)和1除以(x²-1)。第一步，分母因式分解：x²-x=x(x-1)，x²-1=(x+1)(x-1)；第二步，确定最简公分母：x(x+1)(x-1)；第三步，第一个分式分子分母同乘(x+1)，得到(x+1)除以x(x+1)(x-1)；第二个分式分子分母同乘x，得到x除以x(x+1)(x-1)。
五、高频易错点TOP5，每条都有孩子踩过
第一，分式值为0只记得分子为0，忘记分母不为0。分式值为0必须同时满足分子为0且分母不为0，两个条件缺一不可。
第二，约分不先因式分解直接约。比如(x²-1)除以(x+1)，不能直接把x²和x约掉，必须先把分子因式分解为(x+1)(x-1)，再约去公因式。
第三，通分确定最简公分母时漏掉字母或取错次幂。最简公分母要取所有出现的字母，相同字母取最高次幂，不能漏也不能取错。
第四，符号法则用错。分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中两个分式值不变，改变一个就变成相反数。做题时要数清楚改变了几个符号。
第五，分式基本性质中忘记乘的整式不能为0。分子分母同乘的整式C必须不为0，如果C为0，分式就变成0除以0，无意义。
六、三道典型题目精练
典型题1（基础题，分式有意义与值为0）
1.已知分式(x-3)除以(x²-5x+6)。
（1）当x取何值时，分式有意义？
（2）当x取何值时，分式的值为0？
解析：这道题考察分式有意义和值为0的条件，是分式这一章最基础也是最重要的题型。
（1）分式有意义的条件是分母不为0。先把分母因式分解：x²-5x+6=(x-2)(x-3)。令分母为0，即(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。所以当x不等于2且x不等于3时，分式有意义。
（2）分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。先令分子为0：x-3=0，解得x=3。但当x=3时，分母为(3-2)(3-3)=0，分式无意义。所以不存在x使分式的值为0。
易错提醒：第二问很多孩子直接答x=3，忘记检验分母是否为0。分式值为0必须同时满足分子为0和分母不为0两个条件，求出分子为0的值后一定要代入分母检验。
典型题2（中档题，分式约分）
2.约分(3x²-12)除以(x²+4x+4)。
解析：这道题考察分式约分，关键是先因式分解再找公因式。
第一步，分子因式分解：3x²-12=3(x²-4)=3(x+2)(x-2)。这里先提取公因数3，再用平方差公式分解x²-4。
第二步，分母因式分解：x²+4x+4=(x+2)²。这是完全平方公式。
第三步，找公因式：分子是3(x+2)(x-2)，分母是(x+2)²，公因式是(x+2)。
第四步，约去公因式：3(x-2)除以(x+2)。
所以约分结果是3(x-2)除以(x+2)。
易错提醒：因式分解要彻底，分子3x²-12不能只提取3就停，还要继续用平方差公式分解x²-4。分母x²+4x+4要认出是完全平方公式，分解为(x+2)²。
典型题3（技巧题，分式通分与符号法则）
3.不改变分式的值，把分式(2-x)除以(x²-4)的分子和分母的最高次项系数化为正数，并将结果约分。
解析：这道题综合考察符号法则和约分，需要先处理符号再约分。
第一步，处理符号。分子的最高次项是负x（系数为负），分母的最高次项是x²（系数已经为正）。把分子的负号提出来：2-x=-(x-2)。利用符号法则，分子的负号可以移到分式本身前面，得到负的(x-2)除以(x²-4)。
第二步，分母因式分解：x²-4=(x+2)(x-2)。
第三步，约分：负的(x-2)除以(x+2)(x-2)，约去公因式(x-2)，得到负的1除以(x+2)。
所以最终结果是负的1除以(x+2)。
方法总结：遇到分子或分母最高次项系数为负时，先提取负号，再利用符号法则把负号移到分式前面，然后再进行因式分解和约分。这样可以避免符号混乱。
写在最后
分式是初二代数的重点，也是后面学习分式方程、反比例函数的基础。把分式的概念搞清楚，把基本性质记牢，把约分和通分的方法练熟练，孩子就能顺利跨过从整式到分式这道坎。后面我们还会学习分式的加减乘除运算，那是分式这一章的进一步发展。
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