上中独一无二的选题与算分方式
上周，上海中学高一的新生完成了他们进入高中后的第一次试炼，整体强度还是很大的。
这次高一九月练习的最后一道题，是从2025年北京高考最后一道题改过来的。学生刚进高中，就开始做高考压轴题，听起来有点吓人。不过，具体看题目，它用到的知识并不多：读懂集合的定义，会判断奇偶性，再加上一些计数，就可以开始研究了。
而且，这道题确实有意思。题面上写的是有序数对，画出来是一张棋盘；相邻两项的限制，规定的是棋子怎么走。顺着它往下想，就会遇到骑士巡游；进一步讨论一般图上的路线，还能谈到计算机科学里的 与 ，谈到其中一类叫作“ 完全”的问题。
高一学生用已经学过的知识，就能接触到这些问题，我觉得很好。一道压轴题，能给学生打开一个数学的世界。 北京的原题和上中的改编，都值得拿出来好好讲一讲。
先说一下这次考试的给分方式。卷面满分120分，最后按100分记成绩：80分及以下，拿多少算多少；超过80分的部分，除以2，再加回80分。
也就是说，卷面90分记85分，100分记90分，110分记95分，120分才是满分100分。这样一来，高分段学生的领先优势就没有那么大了。最后成绩差10分，卷面上可能差了20分。
卷子本身还是有挑战性的。刚进高中的学生，既要适应集合、逻辑这些新的表达，又要把方程、不等式里的分类和边界处理清楚，压力不小。最后这道18分的题，计算倒不多，但要求学生说明一件事为什么根本做不到。
我们就从这道题开始看，本题精心制作的视频放在这里可以提前食用：
上中是如何改编北京高考？
题目给出
从 中选出 个不同的有序数对，排成一个序列。如果相邻两项的两个坐标，一个相差4，另一个相差5，也就是
就把这样的序列称为 列。
三个小问分别是：
（1） 第一项是 ，写出第二项的所有可能。
（2） 如果奇数项的横坐标属于 ，偶数项的横坐标属于 ，那么 和 能否同时出现在这个序列中？说明理由。
（3） 证明： 中的全部144个元素，不可能排列成一个 列。
2025年北京高考第21题，用的就是这套定义和设问。两道题放在一起，改了哪些地方很容易看出来。
从64个元素变成144个元素，看起来题目变大了。但它会不会更难，光看数字还判断不了。先把这些有序数对画出来，再看每一步究竟发生了什么。
这里的坐标变换不就是一匹步子迈得更大的马吗？
把 看成第 列、第 行的格子。北京题里的64个有序数对，正好是一张 的棋盘；上中题里的144个有序数对，就是一张 的棋盘。
排成序列，也就变成了在棋盘上走一条路线：第一项是起点，第二项是下一步到达的格子。题目要求有序数对互不相同，就意味着走过的格子不能再走。
再看上中的相邻项条件。横、纵坐标分别相差4和5，意思就是水平方向走4格、竖直方向走5格；或者水平方向走5格、竖直方向走4格。比如从 到 ，就是向右4格，再向上5格。北京题也是一样，只是换成了3格和4格。
这样看就很像国际象棋里的马了。马走“日”字，水平方向走两格、竖直方向走一格，或者水平方向走一格、竖直方向走两格。这两道题里的“马”，只是把步子迈大了一些。
普通的马能不能不重复地走遍棋盘上的每一个格子？这就是经典的骑士巡游问题。在通常的 棋盘上，可以找到这样的路线：从一个格子出发，跳63次，恰好经过全部64个格子。
如果最后还能一步跳回起点，就叫闭合巡游。不过，这两道考题都没要求回到起点，走遍一次就行。
把普通马的1、2换成其他正整数 ，按照 或 的位移跳跃，就得到了广义骑士。北京题是3、4的跳法，上中题是4、5的跳法。第三问要求证明的，正是这样的“马”不能在相应棋盘上完成一次巡游。
现在题目就具体了。前两问先研究这匹马能到哪里、走过的格子有什么共同规律，第三问再问它能不能走遍。有了棋盘，很多在符号里不容易看见的限制，就可以直接画出来。
两题放在一起做效果更好
第一问没有太多障碍。
上中从 出发，第二项的四种可能是
北京从 出发，则只有 和 。按规则把各个方向试一下，跳出棋盘的去掉即可。
到了第二问，只看一步就不够了。
两个格子未必相邻，要判断它们能不能出现在同一条路线中，得找一个每走一步都能用的规律。
这里看坐标和的奇偶性就很方便。 不管是3和4，还是4和5，每一步都是一个坐标改变奇数，另一个坐标改变偶数，所以 的奇偶性一定改变。
如果按坐标和的奇偶，把棋盘涂成黑白两色，这句话就更直观了：马每跳一步，都会换一种颜色。因此，第1、3、5……项同色，第2、4、6……项也同色。
上中第二问里， 和 的横坐标都在题目规定的外侧区域，所以都只能排在奇数位置。可它们的坐标和，一个是2，一个是5，颜色不同，矛盾了。
北京题规定奇数项的横坐标属于 ，偶数项属于 。要判断的 和 都只能排在偶数位置，坐标和却分别是5和8，同样不可能同时出现。
第二问，两题基本是同一个做法。第三问就有区别了。
值得注意的是，第三问没有第二问里奇数项、偶数项的分区限制。 黑白交替仍然成立，但上中全盘恰好是72黑、72白，北京是32黑、32白，数量对得上。到这里，单靠黑白格还看不出矛盾。
我会让学生先想一件更简单的事：假如真的有一条完整路线，沿着这条路线，把第1、2项分成一组，第3、4项分成一组，一直分下去，会得到什么？
以上中为例，就是
每一组里的两个格子都能一步跳到，每个格子也恰好用了一次。原来要把144个格子连成一整条路线，现在先不管组与组之间能不能连起来，只要求它们两两配好。
如果连这样的配对都做不到，整条路线当然更不可能有。
上中题里，选最左边三列和最右边三列，也就是
一共72个格子。这些格子彼此不能配：同在一侧，横坐标最多相差2；分在两侧，至少相差7，都不符合相差4或5的要求。因此，它们得去别的列找伙伴。
但也不是中间的格子都能用。把列号列一下就知道了：
所有可能的伙伴，都在第5、6、7、8列，至多48个。第4、9列虽然在中间，也帮不上忙。
72个格子，每个都要配一个不同的伙伴，却只有至多48个格子可以选，怎么配都不够。所以完整路线不存在。
这里要注意，原路线中一个格子可以连着前后两个格子，但我们刚才抽出的配对，每个格子只用一次。72与48的比较，用的是后面这个要求。
北京题也可以从两侧开始看。
最左边两列、最右边两列，一共32格；它们的伙伴在中间四列，也有32格。数量一样，这样数还不够。
横坐标用过了，纵坐标能不能也用上？同时要求
选出来的就是棋盘四个角上的四块 小方块，一共16格。它们彼此也不能配，所有伙伴只能在中央的 区域里。
看起来又是16对16。不过，中央这16格里，有四格根本到不了：
原因也不复杂。从外侧的1、2、7、8出发，要相差3或4后到达3，只能是7减4；要到达6，只能是2加4。因此，要从所选区域跳到这四个位置，横、纵坐标都得改变4。
题目要求的是一个改变3、一个改变4，横纵都改变4当然不行。扣掉这四格，能当伙伴的至多只剩12格，16个格子仍然配不过来。
这就是两道题改编以后，值得比较的地方。 上中只看横坐标，就能数出72与48的差距；北京要把横、纵坐标一起用，再排除中央四个格子，才得到16与12。
所以，上中的棋盘虽然更大，沿着这个做法，最后一问反而更直接。
把它改给高一学生做，我觉得是合适的。学生需要想通“完整路线一定能拆成配对”这一步，之后每个结论都能在棋盘上检查，不需要再补多少新知识。
P vs NP，找到一条路线，和检查一条路线
前面这两道题，我们最后都用很短的理由证明了无解。换一张棋盘，却未必还能找到这样的数量矛盾。即使所有格子都能配好，也不能保证各组一定接得成一条完整路线。
这就留下了一个更一般的问题：拿到一张新的棋盘和新的跳法，怎样判断完整路线到底存不存在？
先把每个格子画成一个点，能一步跳到的两个点之间连一条线。棋盘的格子可以去掉，哪些位置能够相通，已经记录在这些点和线里了。数学上，这样的对象叫作“图”。沿着连线，经过所有点，每个点恰好一次，这样的路线叫哈密顿路径。
如果别人已经给了一条路线，检查起来倒不难：点有没有重复，有没有漏掉，相邻两点之间有没有连线，逐项核对就行。
但如果只给这张图，没有路线，就得自己去判断。一次尝试走到死路，可以换一种走法；换了很多次还没有成功，也不能仅凭这一点就说不存在。
已经有答案，让你检查；还没有答案，让你自己解决。这两件事，难度可能很不一样。 与 讨论的，就与这个区别有关。
这里说“容易”，需要有个标准。计算机科学通常看：输入的数据越来越多时，算法花的时间如何增长。比如把输入的数据长度记为 ，计算量至多是某个固定常数乘以 、，或者 的其他固定次幂，这就属于多项式时间。这里的“高效”是按这种增长方式来划分的，实际运行要多久，还得看具体的算法。
对于答案为“是”或“否”的判定问题，如果有一个算法，能对各种输入都在多项式时间内给出正确判断，这类问题就属于 。
的要求则是：当答案为“是”时，能够给出一份长度为多项式规模、也能在多项式时间内核验的证据；答案为“否”时，不能有假证据通过核验。哈密顿路径就是很直观的例子：只要确实存在，把访问各个点的顺序写出来，就是一份可以检查的证据。
注意， 里的这个 ，不表示“不能很快解决”。 是“非确定性多项式时间”的缩写。能直接很快解决的问题，当然也能很快核验，所以
真正还没有解决的是：凡是肯定答案能够这样核验的问题，是不是也都能在多项式时间内解决？ 也就是
一般图上的哈密顿路径判定，属于其中的 完全问题。这类问题有一个很强的性质：所有 问题都能在多项式时间内转换成它的实例，并且保持答案一致。如果找到一个对任意输入图都有效的多项式时间判定算法，就能据此解决整个 与 问题。
说到这里，也要把范围分清楚。这里的 完全，说的是一般图上的判定问题。 上中和北京这两张固定的棋盘，我们已经用配对证明了无解；普通方形棋盘的骑士巡游，也有高效的构造方法。具体题目有可以利用的特殊条件，与一般问题的困难，并不矛盾。
另外， 保证的是肯定答案有容易核验的证据。我们这两道题恰好也找到了简短的否定证明，但不能据此认为，所有无解的情况都能这样几句话说清楚。
回到这张高一卷子
讲到 与 ，已经是课外延伸了。高一学生在考场上需要做的，还是读懂定义，发现奇偶性，再想办法证明不可能。
这张卷子的其他题，也在反复检查学生有没有把条件读准确。比如集合里装的是数，还是有序数对，还是集合？“至少一个”该怎样理解？方程没有正根，是不是就没有实根？这些地方没想清楚，后面算得再熟也容易丢分。
全卷18题，10道填空共50分，4道选择共20分，4道解答题分别为10、15、7、18分，共50分。每道题简单列一下。
所以，这张卷子也不能只盯着最后一道题。第7、9、10题已经需要花时间想，第14、16题的分类和边界也有要求。对学生来说，做完之后先看清自己丢在了哪里：是定义没读懂，是漏了情况，还是证明没有想到，这几种问题要分别处理。
真正好的课程设计
对于最后一道题，如果是我来讲评，证明完以后，还会给有兴趣的同学留一点自己研究的余地。
比如把4、5的跳法保留，棋盘改成 ，原来的证明还能不能用？这时格子总数是奇数，两两配对会剩下一个。允许剩下一个以后，原来“伙伴不够”的矛盾还在不在？
又比如把跳法改成1和3，每走一步，黑白颜色还会交换吗？只改了两个数字，原来能用的判断，也要重新检查。
这样的题，完全可以让高一学生做成一个小课题。自己画图、试走，发现规律以后试着说明理由。有编程兴趣的同学，也可以写程序搜路线，再想一想程序的结果说明了什么。搜到一条，可以拿来核验；一直没搜到，离证明不存在还差一步。
北京这道题出得好，上中把它改给高一学生做，我也赞同。 高一就可以让学生尝试做一点这样的小研究，不用等后面的知识全学完。刚学的集合、逻辑和奇偶性，已经够他们自己作出一些判断，再拿着图来讨论了。
如果学生愿意自己改一个条件，研究一次，最后把为什么成立、为什么不成立讲清楚，对后面三年的数学学习都会有帮助。题目讲完以后，还有同学想接着做下去，我觉得这就是很好的数学课。
最后完整的试卷和答案如下：
