高三数学·高考一轮·三角函数与解三角形专题|2026-2027学年第3周+真题拆解

四季读书网 2026-09-22 12:57:02 8 0

高三数学 · 高考一轮·三角函数与解三角形专题

2026-2027学年第3周 · 高考真题拆解与一轮复习精讲

一、知识点精讲

三角函数与解三角形是高考数学的必考主干，选择题、填空题、解答题都会涉及，一轮复习要把公式体系与解题套路同时打牢。核心抓六块：

1. 同角关系与诱导：sin²x+cos²x=1，tanx=sinx/cosx；诱导公式口诀"奇变偶不变，符号看象限"。

2. 和差倍角与辅助角：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；辅助角公式 asinθ+bcosθ=√(a²+b²)·sin(θ+φ)，是化简单一三角式的利器。

3. 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。用于已知两角一边、或边角互化，是解三角形的"第一把刀"。

4. 余弦定理：a²=b²+c²−2bc·cosA。已知三边、或两边及其夹角求第三边/角时使用，与正弦定理互补。

5. 面积公式：S=1/2·ab·sinC=1/2·bc·sinA=1/2·ac·sinB，也等于 abc/(4R)。面积常作为"已知量"反推边长或外接圆半径。

6. 三角函数图像：y=Asin(ωx+φ) 周期 T=2π/|ω|；两曲线交点个数题，多用周期叠加 + 草图判断，避免硬算。

二、高考真题分析

【真题1】(2024·新高考Ⅰ卷·第4题)

已知 cos(α+β)=m，tanα·tanβ=2，则 cos(α−β)=（）

A. −3m B. −2m/3 C. 2m/3 D. 3m

解析：由 cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=m；又 tanαtanβ=2 ⇒ sinαsinβ=2cosαcosβ。代入得 cosαcosβ−2cosαcosβ=−cosαcosβ=m，故 cosαcosβ=−m，sinαsinβ=−2m。于是 cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−m−2m=−3m。

答案：A

【真题2】(2024·新高考Ⅰ卷·第15题·解答)

记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 sinC=√2·cosB，a²+b²−c²=√2·ab。

(1) 求 B；(2) 若△ABC的面积为 3+√3，求 c。

解析：(1) 由余弦定理 cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)=√2/2，又 0<C<π，故 C=π/4。代入 sinC=√2·cosB 得 cosB=sinC/√2=1/2 ⇒ B=π/3。(2) A=π−B−C=5π/12，sinA=sin(π/3+π/4)=(√6+√2)/4。设外接圆半径为 R，则 b=2RsinB、c=2RsinC，面积 S=1/2·bc·sinA=2R²·sinA·sinB·sinC=3+√3，解得 R=2。故 c=2R·sinC=2√2。

答案：(1) B=π/3；(2) c=2√2

【真题3】(2024·全国甲卷·理科第11题 / 文科第12题)

记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 B=60°，b²=9/4·ac，则 sinA+sinC=（）

A. 3/2 B. √2 C. √7/2 D. √3/2

解析：由正弦定理 sin²B=9/4·sinA·sinC，sinB=√3/2，得 sinA·sinC=(3/4)/(9/4)=1/3。由余弦定理 b²=a²+c²−ac=9/4·ac ⇒ a²+c²=13/4·ac，正弦定理得 sin²A+sin²C=13/12。于是 (sinA+sinC)²=sin²A+sin²C+2sinA·sinC=13/12+2/3=7/4 ⇒ sinA+sinC=√7/2。

答案：C

【真题4】(2024·新高考Ⅰ卷·第7题)

当 x∈[0,4π] 时，曲线 y=cos x 与 y=sin(3x) 的交点个数为（）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

解析：y=cos x 周期为 2π，在 [0,4π] 上完成 2 个完整周期；y=sin(3x) 周期为 2π/3，在 [0,4π] 上完成 6 个完整周期。两函数在 [0,2π] 内有 3 个交点，于 [0,4π] 上共 6 个交点（草图可证）。

答案：C