初三数学上学期第3周几何压轴题解析

第一类解法通过构造三角形全等，证明△EFH是等腰直角三角形。

方法1

如图1，延长AF,CB交于G.
证△ABG≌△CBE,从而推出△BFG为等腰三角形，从而推出∠HFE=45°。

方法2

如图2，在EC上取点I，使∠IBC=∠EBF=60°. 
易证△ABF≌△CBI,从而推出△BEI为等腰三角形，从而推出∠FEH=45°。

第二类解法

第二类解法为坐标法。

如图3，建立如图所示的坐标系。
设E(0,a),通过HC⊥AF，易求a=8-4,从而tan∠ECB=2-，从而∠ECB=15°，∠AFE=45°。

第（3）问

第一类解法

第一类解法分析Q的轨迹，用几何法求CQ的最小值。

方法1
如图4，取AB中点M,易分析Q在直线MQ上运动，CN⊥MQ于N,所以在Rt△CON中，易求CQ=CN=2+.

方法2

如图5，取AB中点M,易分析Q在直线MQ上运动，CN⊥MQ于N,所以在正方形ABCD和△MCR中，通过等面积易求CQ=CN=2+.

第二类解法

第二类解法为坐标法。

如图6，建立如图所示的坐标系。
由A,P点易写出Q的坐标，利用两点间距离公式易求出CQ的表达式，将CQ的最值问题，转化为一个二次函数的最值问题。