中考复习第03讲 | 分式：概念+基本性质+运算+化简求值（12题精练）

初中数学 · 中考一轮复习 · 第 03 讲

📌 本讲导读
分式是中考必考的代数运算关：选择填空考"有意义/值为0"，解答题必考一道"分式化简求值"。三条主线：分母含字母是分式、分母≠0才有意义、先化简再求值。化简的每一步都建立在"因式分解"上——上一讲的基本功这里直接用。

一、知识清单

1. 分式的概念
A、B 是整式且 B 中含有字母，A/B 叫分式。
⚠️ 判断分式看"原始形式"，不能先化简：x²/x 化简后是 x，但它本来就是分式。

2. 三个核心条件
① 有意义：分母 B≠0；无意义：分母 B=0；
② 值为 0：分子 A=0 且 分母 B≠0，两个条件缺一不可；
③ 值为正/负：分子分母同号得正、异号得负（A/B>0 ⇔ A、B 同号）。

3. 分式的基本性质
分子分母同乘（或同除以）一个不为 0 的整式，分式的值不变。这是约分、通分的依据。
符号法则：分子、分母、分式本身，改变其中任意两个符号，值不变。

4. 约分与通分
约分：分子分母公因式约去（多项式先因式分解）；结果没有公因式叫最简分式。
通分：化成同分母，关键是定最简公分母——系数取最小公倍数，字母取最高次幂。

5. 分式的运算
加减：先通分，分母不变分子加减；乘除：除法颠倒相乘，能因式分解的先分解再约分；
混合运算顺序与有理数相同，最后结果必须是最简分式或整式。

二、题型精讲

题型 1分式有意义的条件
若分式 (x−2)/(x+1) 有意义，求 x 的取值范围。

思路：分母≠0 ⇒ x+1≠0 ⇒ x≠−1。
💡 见"有意义"就写分母≠0，一步出答案；若和二次根式组合（√a 同时出现），还要 a≥0，取且。

题型 2分式值为 0
若分式 (x²−1)/(x+1) 的值为 0，求 x。

思路：分子 x²−1=0 ⇒ x=±1；但 x=1 时分母为 0，舍去 ⇒ x=−1？再验：x=−1 时分母 x+1=0 也不行——本题分子分母同因式，无解。
⚠️ "值为 0"必验分母！这是选择题最爱的陷阱。

题型 3分式化简求值（必考大题）
先化简，再求值：(1 − 1/(x+1)) ÷ x/(x²−1)，其中 x=3。

思路：括号内通分：x/(x+1)；除法颠倒：x/(x+1) × (x+1)(x−1)/x = x−1；代入 x=3 得 2。
💡 四步口诀：括号先通分、除改颠倒乘、分解再约分、最后代入算。

题型 4条件求值（整体代入）
已知 x²−3x−1=0，求 x²/(x−1) + (2x−2)/x²−? 的变形题，典型套路：x²=3x+1 降次后代入。

思路：见到"已知一元二次式=0 求分式"，先解出 x²=3x+1，反复降次化成一次式再算。
💡 整体代入：不求 x 的值，把条件当成"降次工具"。

三、中考怎么考：考点与分值分布

四、巩固练习（12 题）

1. 在式子 1/x、x/2、(x+1)/3、3/(x−1) 中，是分式的有______个。
2. 若分式 1/(x−3) 有意义，则 x 的取值范围是______。
3. 若分式 (x−5)/(x+2) 的值为 0，则 x=______。
4. 若分式 (|x|−2)/(x−2) 的值为 0，则 x=______。
5. 约分：(6a²b)/(3ab)=______；(x²−9)/(x+3)=______。
6. 分式 1/a 与 1/b 的最简公分母是______。
7. 不改变分式的值，把 (−a)/(1−b) 的分子分母最高次项系数都化为正数：______。
8. 若 x、y 都扩大到原来的 2 倍，则分式 (x+y)/(xy) 的值（　）
   A. 扩大到原来的 2 倍　B. 不变　C. 扩大到原来的 4 倍　D. 缩小到原来的 1/2
9. 计算：a/(a−1) − 1/(a−1) =______。
10. 计算：(x²/(x−1)) · ((x−1)/x) =______。
11. 先化简，再求值：(1 + 1/(x−2)) ÷ (x+1)/(x²−4)，其中 x=3。
12. 已知 x²−4x+1=0，则 x² + 1/x² 的值为______。

五、答案与解析

1. 2
    个（1/x 和 3/(x−1)）。判断分母是否含字母，看原始形式。
2. x≠3
   。分母≠0，一步出答案。
3. x=5
   。分子 x−5=0 且分母 x+2≠0，验算通过。
4. x=−2
   。|x|−2=0 ⇒ x=±2，但 x=2 时分母为 0 舍去——"值为 0"必验分母。
5. 2a
   ；x−3。第二个先分解 x²−9=(x+3)(x−3) 再约分。
6. ab
   。系数取 1，字母 a、b 都取一次（各出现一次直接带上）。
7. a/(b−1)
   。分子变号一次、分母 1−b 变号一次，共变两处符号值不变。
8. D
   。(2x+2y)/(4xy)=(x+y)/(2xy)=½·(x+y)/(xy)——分子×2、分母×4，值缩到原来的一半。
9. 1
   。同分母减法：(a−1)/(a−1)=1。
10. x
    。约去 (x−1) 和 x，结果 x（x≠0 且 x≠1）。
11. 原式=((x−1)/x) ÷ (x+1)/((x+2)(x−2))=(x−1)(x+2)/(x(x+1))；代入 x=3 得 (2×5)/(3×4)=5/6。
12. 14
    。x+1/x=4（条件两边除以 x），x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14——倒数技巧+完全平方变形。

🎯 本讲方法卡
① 有意义→分母≠0；值为 0→分子为 0 且验分母。
② 化简四步：括号先通分 → 除改颠倒乘 → 分解再约分 → 代入求值。
③ 符号法则：分子、分母、分式本身变两个符号值不变。
④ 条件求值三板斧：降次代入、倒数法、整体代入——第 12 题的 x+1/x=4 是中考填空压轴高频结论。

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下期预告：第04讲《二次根式》：双重非负性与分母有理化
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