初三数学 · 专题复习
一元二次方程的失分，常常藏在“少写一个±”“直接约去x”“忘记检验实际意义”里。这次复习，我们把选方法和查结果放在一起。
适用：初三数学专题复习｜建议用时：35分钟
01 / 必会清单
一般形式ax²+bx+c=0，其中a≠0。先整理为右边等于0的形式，再识别a、b、c。常用解法为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
判别式Δ=b²−4ac。实数范围内：Δ>0有两个不相等实根；Δ=0有两个相等实根；Δ<0无实根。公式x=(−b±√Δ)/(2a)适用于Δ≥0。
当实根为x₁、x₂时，x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a，可用于核对结果。应用题还必须检验实际意义。
02 / 先看结构，再选解法
直接开平：形如(x−a)²=b时，先检查b是否非负，再开方。
因式分解：一边为0，另一边能方便地分解成两个一次因式时，优先考虑。
配方：适合转化为完全平方式，也能帮助理解公式的来历。
公式法：先整理出a、b、c，计算判别式，再代入求根公式。它适用面广，但负号和分母要写清。
03 / 例题1：能分解时先分解
解x²−5x+6=0。寻找乘积为6、和为−5的两个数，得到−2和−3，因此(x−2)(x−3)=0，解为x=2或x=3。代入或用根的和、积检查，均正确。
不要把x²=3x两边直接除以x，这会漏掉x=0。应移项为x(x−3)=0。
04 / 例题2：配方看结构
解x²+4x−1=0。移项得x²+4x=1，两边加4，得(x+2)²=5，故x=−2±√5。配方添加的是一次项系数一半的平方，两边必须同时添加。
05 / 例题3：应用题舍根
长方形长比宽多3厘米，面积为40平方厘米。设宽为x厘米，得x(x+3)=40，即(x+8)(x−5)=0。x=−8不符合宽为正数，舍去；宽为5厘米，长为8厘米。验算5×8=40。
06 / 动笔练一练
1. 解方程(x−2)²=9。
2. 解方程x²−7x+12=0。
3. 解方程2x²−3x−2=0。
4. 方程x²−4x+5=0是否有实数根？
5. 方程x²−6x+k=0有两个相等实根，求k与根。
6. 解方程x²=4x，并说明为什么不能直接约去x。
7. 一块长方形纸板长比宽多2厘米，面积为48平方厘米，求长、宽。
8. 不解方程，求x²−3x−1=0的两实根之和与积，并确认确有实根。
07 / 参考答案与解析
先完成练习，再向下核对。比起只看对错，更值得记录的是：自己在哪一步想错了。
1. x−2=±3，所以x=5或−1。开方不可漏掉负分支。
2. (x−3)(x−4)=0，x=3或4。
3. (2x+1)(x−2)=0，x=−1/2或2。展开核对得2x²−3x−2。
4. Δ=16−20=−4<0，无实数根。
5. 36−4k=0，k=9；方程为(x−3)²=0，根为3。
6. x(x−4)=0，x=0或4。除以可能为0的x会漏根。
7. 设宽x，x(x+2)=48，(x+8)(x−6)=0。舍去−8，宽6厘米、长8厘米。
8. Δ=9+4=13>0，有两个实根；根之和为3，积为−1。
08 / 复盘与下一步
计算错：重点检查负号、分母2a、平方根；方法错：先观察能否开方或分解；应用题错：补写单位与舍根理由。最后任选一题，用另一种方法验证，不以“答案看着合理”代替验算。
09 / 学完这一篇，留下一个方法
做完一道方程题，留半分钟检查：根是否齐全、代入是否成立、应用题是否符合实际。会检查，也是解题能力的一部分。
本文为通用专题讲练，不绑定特定教材进度。练习为原创编写；请在完成相应知识学习后使用。
