高三数学 · 高考一轮 · 函数与导数专题
2026-2027学年第3周 · 含近年全国卷高考真题拆解与模拟训练
一、知识点精讲
函数与导数是高中数学的压轴主线，也是高三一轮复习的重中之重。一轮阶段要先把"工具"磨利，再谈综合应用，核心掌握四块：函数的四大性质、导数运算与几何意义、单调性·极值·最值、不等式与恒成立。
1. 函数四大性质：定义域优先；奇偶性（f(−x)=±f(x)，定义域须对称）、单调性（同增异减）、周期性（f(x+T)=f(x)）、对称性。判断奇偶性前务必先看定义域是否关于原点对称。
2. 导数定义与几何意义：f′(x₀)=limΔx→0 [f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx；几何上表示曲线在点 (x₀,f(x₀)) 处切线的斜率。切线方程 y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀)。
3. 单调性·极值·最值：令 f′(x)=0 得临界点，用导符号判断增减；"左增右减"为极大，"左减右增"为极小。闭区间最值 = 极值 + 端点值比较。
4. 恒成立与存在性："f(x)≥a 恒成立" ⇔ f(x)min≥a；"存在 x 使 f(x)≥a" ⇔ f(x)max≥a。这是导数大题第(3)问的高频套路。
二、高考真题分析
【真题1】(2025·新高考Ⅰ卷·第7题·选择题)
已知函数 f(x)=ln(√(x²+1)−x)，则 f(x) 的奇偶性与单调性为（ ）
A. 奇函数，单调递增 B. 奇函数，单调递减 C. 偶函数，单调递增 D. 偶函数，单调递减
解析：定义域 R。f(−x)=ln(√(x²+1)+x)=ln[ (x²+1−x²)/(√(x²+1)−x) ]=ln[1/(√(x²+1)−x)]=−f(x)，故为奇函数。再看单调性：令 h(x)=√(x²+1)−x，h′(x)=x/√(x²+1)−1<0 恒成立，h(x) 单调递减；外层 ln 递增，复合后 f(x) 单调递减。
答案：B
【真题2】(2024·新高考Ⅰ卷·第18题·解答题)
已知函数 f(x)=ln[x/(2−x)]+ax+b(x−1)³，定义域为 (0,2)。
(1) 若 b=0，且 f′(x)≥0 恒成立，求 a 的最小值；(2) 证明：曲线 y=f(x) 是中心对称图形。
解析：(1) b=0 时 f(x)=ln[x/(2−x)]+ax，f′(x)=2/[x(2−x)]+a。因 x∈(0,2)，x(2−x)≤1（当且仅当 x=1 取等），故 2/[x(2−x)]≥2，于是 f′(x)≥0 恒成立 ⇔ a≥−2/[x(2−x)] 对一切 x 成立，只需 a≥−2，故 a 的最小值为 −2。
(2) 计算 f(2−x)=ln[(2−x)/x]+a(2−x)+b(1−x)³=−[ln(x/(2−x))+ax+b(x−1)³]+2a=−f(x)+2a。故曲线关于点 (1,a) 中心对称，得证。
答案：(1) amin=−2 (2) 关于点(1,a)中心对称
【真题3】(2023·新高考Ⅰ卷·第19题·解答题)
已知函数 f(x)=a(ex+a)−x。
(1) 讨论 f(x) 的单调性；(2) 证明：当 a>0 时，f(x)>2ln a+3/2。
解析：(1) f′(x)=aex−1。若 a≤0，则 f′(x)<0，f(x) 在 R 上单调递减；若 a>0，令 f′(x)=0 得 x=−ln a，x∈(−∞,−ln a) 递减、x∈(−ln a,+∞) 递增。
(2) 由(1)，a>0 时 f(x) 在 x=−ln a 处取最小值 f(−ln a)=a²+ln a+1。要证 a²+ln a+1>2ln a+3/2，即证 a²−ln a−1/2>0。令 g(a)=a²−ln a−1/2（a>0），g′(a)=2a−1/a，在 a=1/√2 处取最小，g(1/√2)=1/2+(1/2)ln2−1/2=(1/2)ln2>0，故不等式恒成立。
答案：(1) a≤0 递减；a>0 时 (−∞,−ln a) 减、(−ln a,+∞) 增 (2) 证明见上
三、模拟题解答
【模拟1】函数 f(x)=x³−3x 的极小值为（ ）
A. −2 B. 0 C. 2 D. 不存在
解答：f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)。x∈(−∞,−1) 增，(−1,1) 减，(1,+∞) 增，故 x=1 处取极小值 f(1)=1−3=−2。选 A。
答案：A
【模拟2】求曲线 y=ln x 在点 (1,0) 处的切线方程。
解答：y′=1/x，在 x=1 处斜率 k=1，切线过 (1,0)：y−0=1·(x−1)，即 y=x−1。
答案：y=x−1
【模拟3】已知 f(x)=ex−x，证明：f(x)≥1。
解答：f′(x)=ex−1，x<0 时递减、x>0 时递增，故 x=0 处取最小值 f(0)=1，所以 f(x)≥1 恒成立。
答案：得证
四、同步学习建议
函数与导数一轮复习，切忌"背题型"，要回到定义与通性通法。本周建议：①每天 20 分钟夯实四大性质判断（奇偶先看定义域对称）；②导数运算做到"不卡壳"，尤其复合函数、隐函数求导；③单调性讨论先求定义域再令导数为零，分类不重不漏；④恒成立问题统一转化为最值问题。
本周配套真题已覆盖选择、导数解答与不等式证明三条主线，建议先独立做再对解析。下一周我们将进入"三角函数与解三角形"专题，记得关注本号更新。
