研页数学 · 模型35 · 八年级几何最值
造桥选址模型
桥建在哪里，路程才最短？
从 A 地出发，经过一座桥，再到达河对岸的 B 地。
两条河岸互相平行，桥必须垂直于河岸，但建桥的位置可以改变。
这座桥应该建在哪里，才能让总路程最短？
解决这道题，不能只凭图形“看起来顺不顺”。我们既要说明为什么不能更短，也要找出什么时候恰好最短。
下面结合视频中的字母标记，一步一步拆解这个模型。
01 位置在变，哪段长度不变？
按视频中的摆放方式，A 在上岸外侧，B 在下岸外侧。桥的两个端点分别是上岸的 M、下岸的 N，桥 MN 垂直于两条河岸。
从 A 经 M、N 到 B，总路程为：
AM＋MN＋NB
因为平行线之间的距离处处相等，所以无论桥建在哪里，桥长都等于河宽 d。
MN＝d，长度固定
因此，要让总路程最短，只需要让 AM＋NB 最小。
但 AM 和 NB 没有共同端点，不能直接把它们当作一条首尾相接的折线。
怎样把这两段路接起来，同时保持长度不变？
02 沿桥平移，让两段路接起来
将线段 AM 沿 M 到 N 的方向，向下平移一个河宽 d。
M 移到 N，因为 MN 正好等于 d。
A 移到 C，得到平移后的点。
原来的 AM，就变成了 CN。
平移不改变线段长度，所以：
AM＝CN
A 是定点，平移的方向和距离也固定，因此 C 同样是定点，不会随着桥的位置改变而移动。
这样，原来的总路程就可以写成：
AM＋MN＋NB
＝CN＋d＋NB
现在，CN 和 NB 共用端点 N。两段分开的路，变成了从 C 经 N 到 B 的折线。
注意：这里只是利用平移等长替换，并没有改变实际要走的路线。
03 为什么总路程不能更短？
对于两个定点 C、B，根据“两点之间，线段最短”：
CN＋NB≥CB
再加上固定的桥长 d，就得到：
AM＋MN＋NB≥CB＋d
也就是说，不管桥怎样移动，总路程都不会小于 CB＋d。
找到下界，还不能直接结束。
必须继续判断：有没有一个符合条件的位置，让总路程恰好等于 CB＋d？
04 什么时候取等？桥头怎么找？
A 向下平移一个河宽后，C 仍在下岸的上方，而 B 在下岸的下方。因此，线段 CB 一定与下岸相交。
把这个交点作为 N。此时，C、N、B 三点共线，而且 N 在 C、B 之间，所以：
CN＋NB＝CB
这时，转化后的折线恰好拉直，下界就能取到了。
不过，找到 N 还没有完成选址。还要过 N 作河岸的垂线，与上岸交于 M，才能还原出符合要求的桥 MN。
先找 N：线段 CB 与下岸的交点。
再找 M：过 N 作河岸的垂线，与上岸相交。
还原路线：连接 AM、NB，得到从 A 经 M、N 到 B 的路线。
在上述桥位处取到
总路程的最小值：CB＋d
如果题目限制了可建桥的河岸范围，还要检查 M、N 是否都在允许范围内。候选桥位不符合限制时，不能直接把 CB＋d 当作最小值。
05 记住方法，更要理解原因
造桥选址模型，可以抓住这三步：
沿桥平移：保持长度不变，让两段路共用端点。
连线取等：利用线段最短，找到折线拉直的位置。
垂直还原：从一个桥头，找回另一个桥头。
最值题真正需要回答的，不只是“答案是多少”，而是：
为什么不能更小？
什么时候恰好取到？
看视频时，可以重点观察：桥移动时，MN 的长度始终不变；AM 平移后怎样与 NB 接起来；最后又怎样从 N 还原出 M。
把这条分析链想清楚，辅助线就不再是“凭空添出来的一条线”，而是为了解决眼前的问题，自然想到的一步。
你在“平移接头”或“取等位置”这一步还有疑问吗？欢迎在评论区留言。
研页数学
和北森老师一起想数学
