26秋十 · 9月月考真题 补充练习 · 手写解答
第 3 节 · 练习 3 · 共 5 题
第 3 节 · 练习 3
第 1 题
▍题目
(多选) 11. 已知 𝑘∈ ℤ，若关于 𝑥 的不等式 𝑥²−𝑥<𝑘(𝑥−1) 只有一个整数解，则 𝑘 的可能取值有（AD）
A. −1
B. 1
C. 2
D. 3
▍答案
AD
▍解析
𝑥²−𝑥<𝑘(𝑥−1) 化为 (𝑥−1)(𝑥−𝑘)<0。
当 𝑘>1 时，1<𝑥<𝑘，整数解为 2,3,⋯,𝑘−1，恰有 1 个需 𝑘=3；
当 𝑘=1 时不等式无解；当 𝑘<1 时，𝑘<𝑥<1，整数解为 𝑘+1,⋯,0，恰有 1 个需 𝑘=−1。
综上，恰有一个整数解时 𝑘∈[−1,0)∪(2,3]，选项中符合的为 −1 与 3，故选 AD。
第 2 题
▍题目
设 𝑥，𝑦 为实数，满足 2≤ 𝑥𝑦²≤ 3，3≤ 𝑥²𝑦≤ 4，则 𝑥⁵𝑦⁵ 的最大值为 32。
▍答案
32
▍解析
设 (𝑥𝑦²)ⁿ(𝑥²𝑦⁻¹)ᵐ=𝑥⁵𝑦⁻⁵，比较指数得 𝑛+2𝑚=5，2𝑛−𝑚=−5，解得 𝑚=3，𝑛=−1。
∴ 𝑥⁵𝑦⁵=(𝑥𝑦²)⁻¹(𝑥²𝑦⁻¹)³。
由 3≤ 𝑥²𝑦⁻¹≤ 4 得 27≤ (𝑥²𝑦⁻¹)³≤ 64；由 2≤ 𝑥𝑦²≤ 3 得 13≤ (𝑥𝑦²)⁻¹≤ 12。
∴ 9≤ 𝑥⁵𝑦⁵≤ 32，即最大值为 32（此时 𝑥𝑦²=2，𝑥²𝑦⁻¹=4，显然 𝑥,𝑦 有解）。
第 3 题
▍题目
(多选) 13. 已知 𝑎，𝑏 为正实数，(𝑎−1)(𝑏−1)=1，则（BCD）
A. 2𝑎𝑏 的最小值为 4
B. 2𝑎+𝑏 的最小值为 3+2√2
C. 𝑎²+𝑏² 的最小值为 8
D. 1𝑎−1+1𝑏−1 的最小值为 2
▍答案
BCD
▍解析
由 (𝑎−1)(𝑏−1)=1 得 𝑎𝑏−𝑎−𝑏+1=1，即 𝑎𝑏=𝑎+𝑏，从而 1𝑎+1𝑏=1。
A：由 𝑎+𝑏≥ 2√𝑎𝑏 及 𝑎𝑏=𝑎+𝑏 得 𝑎𝑏≥ 2√𝑎𝑏，即 √𝑎𝑏≥ 2，𝑎𝑏≥ 4，故 2𝑎𝑏≥ 8，最小值为 8，A 错误。
B：2𝑎+𝑏=(2𝑎+𝑏)(1𝑎+1𝑏)=2+2𝑎𝑏+𝑏𝑎+1=3+2𝑎𝑏+𝑏𝑎≥ 3+2√2，当且仅当 2𝑎𝑏=𝑏𝑎，即 𝑏=√2𝑎（此时 𝑎=1+√22，𝑏=1+√2）时取等，B 正确。
C：𝑎²+𝑏²≥ 2𝑎𝑏≥ 8，当且仅当 𝑎=𝑏=2 时取等，C 正确。
D：1𝑎−1+1𝑏−1=(𝑏−1)+(𝑎−1)(𝑎−1)(𝑏−1)=𝑎+𝑏−2≥ 2√𝑎𝑏−2≥ 2√4−2=2，当且仅当 𝑎=𝑏=2 时取等，D 正确。
第 4 题
▍题目
1872 年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”）。将有理数集 ℚ 划分为两个非空的子集 𝑀 与 𝑁，且满足 𝑀∪ 𝑁=ℚ，𝑀∩ 𝑁=∅，𝑀 中的每一个元素都小于 𝑁 中的每一个元素，则称 (𝑀,𝑁) 为戴德金分割。试判断下列选项中，不可能成立的是（D）
A. 𝑀={𝑥∈ ℚ| 𝑥<√2}，𝑁={𝑥∈ ℚ| 𝑥≥ √2} 满足戴德金分割
B. 𝑀 没有最大元素，𝑁 有一个最小元素
C. 𝑀 没有最大元素，𝑁 没有最小元素
D. 𝑀 有一个最大元素，𝑁 有一个最小元素
▍答案
D
▍解析
A、C 中 𝑀={𝑥∈ ℚ| 𝑥<√2} 没有最大元素：对其中任意元素 𝑥，𝑥+√22 也是有理数且比 𝑥 大，仍属于 𝑀，可以成立。
B 可以成立，例如 𝑀={𝑥∈ ℚ| 𝑥<2}，𝑁={𝑥∈ ℚ| 𝑥≥ 2}：𝑀 没有最大元素，𝑁 有最小元素 2。
D 不可能成立：若 𝑀 有最大元素 𝑚₀、𝑁 有最小元素 𝑛₀，则 𝑚₀<𝑛₀；由有理数的稠密性，𝑚₀+𝑛₀2 也是有理数，且 𝑚₀<𝑚₀+𝑛₀2<𝑛₀，它既不在 𝑀 也不在 𝑁，与 𝑀∪ 𝑁=ℚ 矛盾。
故选 D。
第 5 题
▍题目
已知 𝑥>0，𝑦>0，𝑧>0。
(1) 若 𝑥>𝑦，求证：𝑦𝑥<𝑦+𝑧𝑥+𝑧；
(2) 已知 𝑥²−𝑥𝑦+9𝑦²−5𝑧=0，当 𝑧𝑥𝑦 取得最小值时，求 𝑥+𝑦−13𝑧 的最大值；
(3) 若 𝑥²+2𝑦²+3𝑥𝑦−6=0，求 5𝑥+7𝑦 的最小值。
▍答案
(1) 证明见解析；(2) 最大值为 4；(3) 最小值为 12。
▍解析
(1) 𝑦𝑥−𝑦+𝑧𝑥+𝑧=𝑦(𝑥+𝑧)−𝑥(𝑦+𝑧)𝑥(𝑥+𝑧)=𝑦𝑥+𝑦𝑧−𝑥𝑦−𝑥𝑧𝑥(𝑥+𝑧)=𝑧(𝑦−𝑥)𝑥(𝑥+𝑧)。
∵ 𝑥>0，𝑧>0，𝑥+𝑧>0，且 𝑦−𝑥<0，∴ 上式 <0，即 𝑦𝑥<𝑦+𝑧𝑥+𝑧。
(2) 由 𝑥²−𝑥𝑦+9𝑦²−5𝑧=0 得 𝑧=𝑥²−𝑥𝑦+9𝑦²5，
∴ 𝑧𝑥𝑦=15· 𝑥²−𝑥𝑦+9𝑦²𝑥𝑦=15(𝑥𝑦+9𝑦𝑥−1)≥ 15(2√9−1)=1，当且仅当 𝑥𝑦=9𝑦𝑥，即 𝑥=3𝑦 时取最小值 1。
此时 𝑧=9𝑦²−3𝑦²+9𝑦²5=3𝑦²，∴ 𝑥+𝑦−13𝑧=3𝑦+𝑦−𝑦²=−𝑦²+4𝑦=−(𝑦−2)²+4，
当 𝑦=2（此时 𝑥=6，𝑧=12）时取最大值 4。
(3) 𝑥²+2𝑦²+3𝑥𝑦=(𝑥+2𝑦)(𝑥+𝑦)=6。令 𝑚=𝑥+2𝑦，𝑛=𝑥+𝑦，则 𝑚𝑛=6。
由 𝑥=2𝑛−𝑚，𝑦=𝑚−𝑛 得 5𝑥+7𝑦=5(2𝑛−𝑚)+7(𝑚−𝑛)=2𝑚+3𝑛，
∴ 5𝑥+7𝑦=2𝑚+3𝑛≥ 2√2𝑚· 3𝑛=2√6𝑚𝑛=2√36=12。
当且仅当 2𝑚=3𝑛，结合 𝑚𝑛=6 解得 𝑚=3，𝑛=2，即 𝑥=𝑦=1 时取最小值 12。
2023秋·西山区期末T10、2025秋·吴江区校级月考T11
2025秋·苏州校级月考T14
2025秋·苏州校级月考T18倒2
2025秋·天津校级月考T10、2024秋吴江区校级月考T11
2025秋·淄博校级月考T11、2025秋·吴江区校级月考T10
