01
一元二次方程的根与代数式的值
1.核心考点：(降次）
一是一元二次方程根的意义:只要一个数是方程的根，代入等式就成立，我们可以用这个关系把高次的代数式降次；
二是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：直接求两根之和，两根之积，不用算出每个根具体的值；
三是代数式整体代入的计算思路。
例如：如果 x₁ ,x₂是方程 ax²+bx+c=0 的根，那它一定满足这个方程：
ax₁² + bx₁ + c = 0移项一下，就能得到：x₁² = (-bx₁ - c) / a
ax₂² + bx₂+ c = 0移项一下，就能得到：x₂² = (-bx₂ - c) / a
x₁+x₂=-b/a
x₁x₂=c/a
这就意味着，任何 x₁² 都可以用 x₁ 的一次式来表示。既然平方能降成一次，那立方、四次方也能一步步降下来。
2. 降幂的具体操作步骤
这道题x² - x - 2026 = 0 为例，先求 x₁³ 的值：
第一步：从原方程解出 x₁²
由 x₁² - x₁ - 2026 = 0，得 x₁² = x₁ + 2026
第二步：把 x₁³ 拆成 x₁ · x₁²（拆项）
x₁³ = x₁ · x₁² = x₁(x₁ + 2026) = x₁² + 2026x₁（整体代入）
第三步：再对 x₁² 降一次幂
把 x₁² = x₁ + 2026 代入：x₁³ = (x₁ + 2026) + 2026x₁ = 2027x₁ + 2026（实现降次）
经过两步降幂，x₁³ 变成了 x₁ 的一次式，再结合韦达定理就能轻松求解了。
3.解答过程:
4. 降幂法的通用套路
不管求 x₁ 的几次方，套路都是一样的：
1. 从原方程中解出 x₁² = px₁ + q（p、q 是常数）
2. 遇到 x₁ⁿ，就拆成 x₁ⁿ⁻² · x₁²
3. 把 x₁² 替换成 px₁ + q，展开后最高次数就降了 1 次
4. 重复这个过程，直到把高次幂全部降成一次式
02
已知根与系数的关系，求字母系数的值时，忽略△≥0
考点
1. 韦达定理（根与系数的关系）x₁+x₂=-2m,x₁x₂=m²-m+2，
得出m=0或m=3.
2. 用一元二次方程判别式判断根的情况，△＞0，得出m＞2
3. 含参数方程求出参数后，必须带回判别式检验。这一步最重要，所以m=3。
考点
1.换元法解一元二次方程
令 y=x²+x，
原方程变为：y+2y-3=0
(y+3)(y-1)=0
解得 y=1或-3
2.用△检验x²+x 的值。（这是易错点）
当x²+x=1时，方程有根，所以x²+x=1
当x²+x=-3时，△<0,方程无解，x²+x≠-3（舍）
易错点
1.看到一元二次方程，一定要写二次项系数≠0；
2.只说“方程有实数根”，要考虑一次方程的情况，不能默认是二次方程；
3.Δ≥0是有实数根；Δ＞0是两个不等实根。
06
智力小游戏
谁干的！
诚诚、勤勤、立立、达达四人中有一个人打碎了花瓶。老师问：“谁干的？”
诚诚说：“不是我干的。”
勤勤说：“是达达干的。”
立立说：“是勤勤干的。”
达达说：“不是我干的。”
这四人中只有一个人没说真话，那么花瓶是谁打碎的？
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