📖 平行线的性质与综合推理是初中几何的核心内容，也是中考必考知识点。本套试卷聚焦平行线的三条性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）、性质与判定的综合运用、拐点问题（猪蹄模型、铅笔模型）、平行线与角平分线的综合推理，针对性质与判定混淆、拐点问题不会作辅助线、推理书写不规范等高频易错点，精选10道典型题，帮孩子提升几何推理能力。
📝 试卷 · 相交线与平行线（二）
一、选择题（每小题4分，共24分）
1. 如图，a∥b，∠1 = 65°，则 ∠2 的度数为（ ）
A. 65°B. 115°C. 25°D. 135°
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 同位角相等B. 内错角相等C. 两直线平行，同旁内角相等D. 两直线平行，同旁内角互补
3. 如图，AB∥CD，∠A = 70°，则 ∠C 的度数为（ ）
A. 70°B. 110°C. 20°D. 不能确定
4. 如图，已知 AB∥CD，∠1 = 45°，∠2 = 35°，则 ∠3 的度数为（ ）
A. 45°B. 35°C. 80°D. 100°
5. 如图，a∥b，∠1 = 120°，则 ∠2 的度数为（ ）
A. 60°B. 120°C. 30°D. 150°
6. 如图，已知 AB∥CD，则 ∠1、∠2、∠3 之间的关系是（ ）
A. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°B. ∠1 + ∠2 = ∠3C. ∠1 + ∠3 = ∠2D. ∠2 + ∠3 = ∠1
二、填空题（每小题4分，共20分）
7. 如图，a∥b，∠1 = 70°，则 ∠2 = ______，∠3 = ______。
8. 如图，AB∥CD，∠A + ∠C = ______（填度数）。
9. 如图，已知 AB∥CD，∠1 = 55°，则 ∠2 = ______。
10. 如图，已知 AB∥CD，∠B = 40°，∠D = 35°，则 ∠BED = ______。
11. 如图，已知 AB∥CD，∠B = 120°，∠D = 130°，则 ∠BED = ______。
三、解答题（共56分）
12.（10分）推理填空：
如图，已知 ∠1 = ∠2，∠C = ∠D，求证：∠A = ∠F。
证明：∵ ∠1 = ∠2（已知），
又 ∠1 = ∠3（对顶角相等），
∴ ∠2 = ∠3（等量代换），
∴ ______ ∥ ______（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠C = ∠ABD（______）。
又 ∵ ∠C = ∠D（已知），
∴ ∠D = ∠ABD（______），
∴ ______ ∥ ______（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A = ∠F（______）。
13.（10分）如图，已知 AB∥CD，∠1 = ∠2，求证：∠E = ∠F。
14.（12分）拐点问题：
如图，已知 AB∥CD，∠B = 50°，∠D = 30°，求 ∠BED 的度数。（提示：过点 E 作 EF∥AB）
15.（12分）综合探究：
如图，已知 AB∥CD，∠ABE = 120°，∠CDE = 140°，求 ∠BED 的度数。（提示：过点 E 作 AB 的平行线）
16.（12分）平行线与角平分线综合：
如图，已知 AB∥CD，BE 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠BCD，求 ∠BEC 的度数。
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答案解析
一、选择题
1. B a∥b，∠1和∠2是同旁内角，互补：∠2 = 180°-65° = 115°。
2. D 两直线平行，同旁内角互补。A、B缺少“两直线平行”前提；C应为互补。
3. B AB∥CD，∠A和∠C是同旁内角，互补：∠C = 180°-70° = 110°。
4. C 过拐点作平行线，∠3 = ∠1 + ∠2 = 45° + 35° = 80°。
5. A a∥b，∠1和∠2是同位角（或内错角），∠2 = 180°-120° = 60°（根据图形位置）。
6. B 拐点问题（猪蹄模型）：∠1 + ∠2 = ∠3。
二、填空题
7. ∠2 = 110°（同旁内角互补），∠3 = 70°（内错角相等）。
8. 180°（AB∥CD，∠A和∠C是同旁内角）。
9. 55°（∠1和∠2是内错角，相等）。
10. 75°（过E作平行线，∠BED = ∠B + ∠D = 40° + 35° = 75°）。
11. 110°（∠BED = 360° - ∠B - ∠D = 360° - 120° - 130° = 110°，或过E作平行线分析）。
三、解答题
12. 依次填：BD∥CE；两直线平行，同位角相等；等量代换；AC∥DF；两直线平行，内错角相等。
13. ∵ AB∥CD，∴ ∠ABC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）。又∵ ∠1 = ∠2，∴ ∠EBC = ∠BCF，∴ BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴ ∠E = ∠F（两直线平行，内错角相等）。
14. 过E作EF∥AB。∵ AB∥CD，∴ EF∥CD。∴ ∠BEF = ∠B = 50°，∠DEF = ∠D = 30°，∴ ∠BED = ∠BEF + ∠DEF = 80°。
15. 过E作EF∥AB。∵ AB∥CD，∴ EF∥CD。∠BEF = 180° - ∠ABE = 60°（同旁内角互补），∠DEF = 180° - ∠CDE = 40°，∴ ∠BED = ∠BEF + ∠DEF = 100°。
16. ∵ AB∥CD，∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°。又∵ BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴ ∠EBC = ½∠ABC，∠ECB = ½∠BCD，∴ ∠EBC + ∠ECB = ½(∠ABC + ∠BCD) = 90°。在△BEC中，∠BEC = 180° - 90° = 90°。
📊 拐点问题常见模型
⚠️ 避坑指南 · 平行线的性质与综合推理
🚨 高频易错点1：性质与判定混淆
性质：由平行得角的关系（线→角）；判定：由角的关系得平行（角→线）。两者方向相反，不能混用。
🚨 高频易错点2：拐点问题不会作辅助线
过拐点作已知直线的平行线，是解决拐点问题的通用方法。注意拐点在两平行线之间还是之外。
🚨 高频易错点3：忽略“两直线平行”的前提
只有在两直线平行的前提下，才有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
🚨 高频易错点4：推理书写不规范
每一步推理必须写明依据，格式：∵……（理由），∴……（理由）。不能跳步。
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