同学们，上一节课我们把有理数乘法的法则立起来了：同号得正，异号得负，几个数相乘先数负因数。
法则有了，接下来的问题是：算得对不对已经不是难点了，算得快不快才是。
小学里我们手里有三件趁手的工具——交换律、结合律、分配律。可那时候数都是正的。现在数里混进了负数，这三件工具还能不能用？
🧱 从仓库说起：先搬哪两垛都一样
仓库里整齐码放的纸箱
仓库里码着这样的纸箱垛。工人要把它们装上同一辆货车，一垛一垛搬。先搬左边两垛再搬右边那垛，还是先搬右边两垛再搬左边那垛？
搬的总量一模一样。 只是哪条路更省力气，工人自己会挑。
乘法里也有一样的道理。下面三组算式，我们当场算一算。
📐 黑板上三组算式，结果相等吗？
第一组：两个数相乘，换个位置
6×(−7) ＝ −42 (−7)×6 ＝ −42 → 相等
第二组：三个数相乘，先算哪两个
(3×(−5))×(−2) ＝ (−15)×(−2) ＝ 30 3×((−5)×(−2)) ＝ 3×10 ＝ 30 → 相等
第三组：一个数乘括号里的和
(−3＋5)×4 ＝ 2×4 ＝ 8 (−3)×4 ＋ 5×4 ＝ −12＋20 ＝ 8 → 相等
三组里都掺着负数，结果还是照样相等。这说明不是巧合——把数从正数扩充到有理数以后，小学学过的这三条运算律，一条都没有丢。
有理数乘法运算律交换律：a×b ＝ b×a结合律：(a×b)×c ＝ a×(b×c)分配律：(a＋b)×c ＝ a×c ＋ b×c 其中 a、b、c 表示任意的有理数。同一个式子里，相同的字母表示同一个数。
这三条规矩看着朴素，用处却全在"抄近路"上。
别小看"结果相等"这四个字。正因为结果不变，我们才有权换个顺序、换个搭配去算——算出来的答案不会变，但过程可以变得轻松很多。这就是这节课的全部意义。
🔑 近路一：结合律——先找能凑整的两个数
例 1 计算：(−3)×2×(−3.5)
道算术题这么短，还能有近路？有的，而且有两条。
同一个算式，两条路，答案一样
- 走法一：
[(−3)×2]×(−3.5) ＝ (−6)×(−3.5) ＝ 21 - 走法二：
(−3)×[2×(−3.5)] ＝ (−3)×(−7) ＝ 21
两条路都到 21。区别在哪？走法二里，2×(−3.5) 正好凑成整数 −7，接下来 (−3)×(−7) 一眼就能算出 21；走法一先算出小数 −6，还得再乘一次 −3.5，容易出错。
结合律的用法：先扫一眼，把能凑成整数的两个数先乘起来。
再看一个例子：
(−7)×9×(−5/7)
这里 −7 和 −5/7 是一对好搭档：(−7)×(−5/7) ＝ 5。所以先把 9 交换到前面，再让这两个数凑到一起：
(−7)×9×(−5/7) ＝ 9×[(−7)×(−5/7)] ＝ 9×5 ＝ 45
这一步同时用到了交换律和结合律——交换律负责"挪位置"，结合律负责"换搭档"，通常是一起配合使用的。
🎯 近路二：分配律——把括号拆开，一项一项算
例 2 计算：(0.5 ＋ 5/6 − 7/12)×(−36)
(−36) 是 12 的倍数，括号里那三个分数分母正好是 2、6、12，都能被 36 除尽。这种情况下，拆开算比分母通分快得多。
括号外的数，要跟括号里每个数都乘一遍
原式 ＝ 1/2×(−36) ＋ 5/6×(−36) ＋ (−7/12)×(−36) ＝ (−18) ＋ (−30) ＋ 21 ＝ −27
那如果不拆呢？先把括号里加起来：
0.5＋5/6−7/12 ＝ 6/12＋10/12−7/12 ＝ 9/12 ＝ 3/4 3/4×(−36) ＝ −27
两条路又是同一个答案。
这两条路没有谁对谁错，只有"这一题哪条快"。分配律的价值不在于"必须用"，而在于你多了一个可以挑的选择——哪边好算挑哪边。
拆括号时最容易踩的三个坑：
① 括号里每个数都要乘，一个都不能漏；② 每个数要带上自己前面的符号一起乘；③ 一个算式里同时有小数和分数时，先把小数化成分数，才好约分。
🔄 近路三：倒着用分配律
分配律是 a×c ＋ b×c ＝ (a＋b)×c。左边到右边叫"拆开"，右边到左边叫"提出来"。很多时候，提出来比拆开更省事。
（1）3×7 − (−5)×7 − 8×7
三个乘法算式里都藏着同一个 7。把它提出来：
原式 ＝ [3 − (−5) − 8]×7 ＝ (3＋5−8)×7 ＝ 0×7 ＝ 0
这类题的信号特别好认：几个乘法算式里出现同一个因数，就把它提出来。提出来以后括号里会变成加减法，往往能凑出很漂亮的数，比如这里的 0。
（2）(−99又5/6)×12
−99又5/6 硬乘 12 很别扭。但 99又5/6 离 100 只差 1/6：
−99又5/6 ＝ −(99＋5/6) ＝ −(100 − 1/6) ＝ −100 ＋ 1/6
于是：
原式 ＝ (−100 ＋ 1/6)×12 ＝ −1200 ＋ 2 ＝ −1198
这里有个坑：−99又5/6 拆出来是 −100 ＋ 1/6，不是 −100 − 1/6。 因为 99又5/6 ＝ 100 − 1/6，前面再加负号，减号就翻成加号了。拆完一定要回头验一验：−100＋1/6 的绝对值是 99又5/6，没错。
↕️ 倒数：一对相乘等于 1 的搭档
例 3 计算：
(1) 8×1/8 ＝ 1 (2) (−4)×(−1/4) ＝ 1 (3) (−7/8)×(−8/7) ＝ 1
三组数长得不一样，但乘积都是 1。这个共同点值得单独给个名字。
倒数：相乘等于 1 的一对好搭档
一般地，如果 a×b ＝ 1，那么 a 和 b 互为倒数，其中一个数叫作另一个数的倒数。 由倒数的定义可知：0 没有倒数。
一整包矿泉水，数一数瓶盖是 4×6＝24 瓶
照片里是一整包矿泉水，从上面数一数瓶盖：4 排、每排 6 瓶，一共 24 瓶。
一整包 ＝ 24 瓶，那么 1 瓶就是一整包的 1/24。 反过来验一下：24 × 1/24 ＝ 1 ✓
倒数长什么样？看它的搭档就知道了：
| 先化成假分数 | ||
| 没有倒数 |
倒数和相反数，别搞混。 这是这节最容易混的地方，单独列一张表：
| 0 的相反数是 0 | 0 没有倒数 |
记住一句顺口的话：相反数看"和"，倒数看"积"。
为什么 2.5.2 突然要讲倒数？因为下一节课学除法时，要把"除以一个数"统统变成"乘这个数的倒数"。现在把倒数弄清楚，下节课会顺很多。
🧾 生活里的运算律
一、超市收银台：同一个价，合起来算
超市收银台的收银机
收银台上的商品，同一类常常是同一个单价。比如三样商品分别是 3 件、5 件、8 件，单价都是 7 元，要算总价：
- 一件一件算：
3×7 ＋ 5×7 ＋ 8×7 ＝ 21＋35＋56 ＝ 112（元） - 合起来算：
(3＋5＋8)×7 ＝ 16×7 ＝ 112（元）
答案一样，但第二种一步到位。这就是上面"倒着用分配律"在生活里的样子——单价相同时，把件数先加起来。
二、果农分拣：以标准质量为准
工人把苹果分拣装盒
果农分装水果时，习惯以某一质量为标准，把每箱的差距记成正数或负数。
假设 4 筐苹果，以每筐 25 千克为标准，记录分别是 ＋0.35、−1.4、＋1、−0.95（单位：千克）。求这 4 筐的总质量。
如果一筐一筐去加，要算 25.35＋23.6＋26＋24.05，四个数都不好算。换个思路：
总质量 ＝ 4个标准质量 ＋ 4个差距的总和 ＝ 25×4 ＋ (0.35 − 1.4 ＋ 1 − 0.95) ＝ 100 ＋ (−1) ＝ 99（千克）
括号里先算，得 −1；标准那部分一起算，得 100。两步都是整数，比零散地加小数轻松得多。
这一步背后还是分配律：4 筐每筐都有个 25，把 25 提出来，乘上筐数 4。
三、电脑两次降价：为什么可以先乘 0.9×0.9
商店里展示的笔记本电脑
某款笔记本电脑原价 5000 元，先降价 10%，再降价 10%，现价多少？
第一次降价后：5000×(1−10%) ＝ 5000×0.9 ＝ 4500（元） 第二次降价后：4500×0.9 ＝ 4050（元）
换个算法，用结合律把两次打折合起来：
5000 × 0.9 × 0.9 ＝ 5000 × (0.9×0.9) ＝ 5000 × 0.81 ＝ 4050（元）
第二次降价的 10%，是在 4500 元的基础上降的，不是在 5000 元的基础上降的。 两次都乘 0.9 才是对的；写成 5000−5000×10%×2 就错了。
🚀 思维提升
1. 变形合理吗？ 用运算律计算 (−99又5/6)×12 时，下面哪种变形是合理的？
A. (−99 ＋ 5/6)×12 B. (−100 ＋ 1/6)×12 C. (−100 ＋ 5/6)×12 D. (−99 − 1/6)×12
答案：B。 关键是把 −99又5/6 准确拆开。99又5/6 ＝ 100 − 1/6，所以 −99又5/6 ＝ −(100 − 1/6) ＝ −100 ＋ 1/6。 A 拆成了 −98又1/6，C 拆成了 −99又1/6，D 拆成了 −99又1/6，都不等于原数。拆完回头验一验，就能排除。
2. 只看符号，不算数（胡小群老师课的题型）
已知 a ＝ (−1)×(−2)×(−3)，b ＝ (−12)×(−23)×(−34)×(−45)，下列叙述正确的是（ ）
A. a、b 都是正数 B. a、b 都是负数 C. a 是正数，b 是负数 D. a 是负数，b 是正数
答案：D。 不用把结果算出来，只要数负因数的个数。a 是 3 个负数相乘，奇数个 → 负；b 是 4 个负数相乘，偶数个 → 正。
3. 若 abc ＞ 0，那么 a、b、c 的符号有几种情况？
积为正，说明负因数的个数是偶数个： 三个都为正，或者一个为正、另外两个为负。
4. 用简便方法计算：123×321 − 642×246 ＋ 369×963
这一题乍看四个大数，其实它们都是同两个数的"倍数版"： 642 ＝ 2×321，246 ＝ 2×123，所以 642×246 ＝ 4×(123×321) 369 ＝ 3×123，963 ＝ 3×321，所以 369×963 ＝ 9×(123×321) 每一项都含 123×321，把它提出来： 原式 ＝ (1 − 4 ＋ 9)×123×321 ＝ 6×123×321 ＝ 236898
5. 全班成绩统计
某班 50 人考试，以 80 分为准，超过的分数记为正，不足的记为负：
求全班总分。
先算"偏离 80 分"的总量： (−3)×15 ＋ (−2.5)×14 ＋ 1.5×6 ＋ 1×1 ＋ 3×12 ＋ 5×2 ＝ −45 − 35 ＋ 9 ＋ 1 ＋ 36 ＋ 10 ＝ −24（分）
意思是全班合起来比"人人 80 分"少了 24 分。所以： 总分 ＝ 50×80 − 24 ＝ 4000 − 24 ＝ 3976（分）
（要算平均分，用小学里的"总数÷人数"：3976÷50 ＝ 79.52 分。）
这类题的通用套路：先假设所有人都达标（标准×人数），再一次性补上偏差。比一个人一个人去加快得多，而且不容易错。
⚠️ 五个易错点
- 用分配律展开，括号里每一项都要乘，还要带上自己的符号。
(0.5＋5/6−7/12)×(−36) 是三项，不是两项；(−7/12) 前面的负号要跟着走，乘出来才是 ＋21。 - −99又5/6 拆出来是 −100＋1/6，不是 −100−1/6。
拆大数时"多退少补"，退补的方向别弄反，拆完回头验一验绝对值对不对。 - 倒数不是相反数。
8 的相反数是 −8，8 的倒数是 1/8；0 有相反数（就是 0 自己），但 0 没有倒数。 - 带分数求倒数，先化成假分数。
1又1/3 的倒数是 3/4，不是 3/1，也不是 1又3/1。 - 结合律管"连乘"，分配律管"乘括号里的加减"，别用混。
(a×b)×c 只能重新搭配因数的位置，不能变成 a×c＋b×c；反过来，(a＋b)×c 也不能只乘其中一个。
✍️ 练一练（答案在最后）
1. 计算：
① 0.8×(−2)×(−5) ② (−7)×9×(−5) ③ (−1/2 − 1/3 ＋ 0.75)×(−24) ④ 3×7 − (−5)×7 − 8×7
2. 说出下列各数的倒数：
① −4 ② 3/4 ③ 12 ④ −12/7 ⑤ −1
3. 用简便方法计算：
① (−4)×(−2.5)×8 ② (−100 ＋ 1/6)×12 ③ 25×(−0.4)×(−3)
4. 已知 abc ＞ 0，且 a＋b ＝ 0，判断 c 的符号。
5. 某水果店进了 6 筐橘子，以每筐 20 千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录为 ＋1.2、−0.8、＋0.5、−1.5、＋0.3、−0.7（单位：千克）。求这 6 筐橘子的总质量。
[!例题] 挑战：计算 (−1/2)×(−2/3)×(−3/4)×…×(−99/100)思路：式子很长，但相邻两个分数可以约分，先看能不能"连锁约分"。答案：负因数有 99 个（1/2 到 99/100 这 99 个分数都带负号），奇数个 → 积为负。再算大小：前两个相乘 (−1/2)×(−2/3) ＝ 1/3，再乘 (−3/4) 得 −1/4，再乘 (−4/5) 得 1/5……看得出规律——乘到第 n 个，结果是 (−1)ⁿ × 1/(n+1)。所以乘到第 99 个，结果是 −1/100。
提示：第 1 题的第 ③④ 小题都能用分配律；第 3 题先找能凑整的两个数；第 4 题先把 a＋b ＝ 0 翻译成"a、b 互为相反数"。
[!TIP] 参考答案：1. ① 8（(−2)×(−5) 先算得 10） ② 315（(−7)×(−5) 先算得 35） ③ 2（＝12＋8−18） ④ 0（＝[3＋5−8]×7）2. ① −1/4 ② 4/3 ③ 1/12 ④ −7/12 ⑤ −13. ① 80（(−4)×(−2.5)＝10，再乘 8） ② −1198（−1200＋2） ③ 30（25×(−0.4)＝−10，再乘 (−3)）4.c ＜ 0。a＋b ＝ 0 说明 a、b 互为相反数，一正一负，所以 ab ＜ 0；而 abc ＞ 0，说明 c 与 ab 同号，所以 c 是负数。另外 c ≠ 0，因为 c ＝ 0 时 abc ＝ 0，与 abc ＞ 0 矛盾。5. 20×6 ＋ (1.2 − 0.8 ＋ 0.5 − 1.5 ＋ 0.3 − 0.7) ＝ 120 ＋ (−1.0) ＝ 119（千克）
📌 本文由 Claude Code（AI 实验） 生成，内容仅供初一复习参考，表述以你老师的课堂为准。发现错误请告诉我，我马上改。
