相似三角形性质全攻略：从对应线段比到面积比，再到实际应用
初三开学第四周，相似三角形的性质来了。上一次讲了判定，这次讲性质。很多孩子会判定但不会用，一到实际问题就不知道怎么列比例式。为什么面积比是相似比的平方？测树高、测河宽的问题怎么用相似解决？今天把相似三角形的五条性质、常见应用模型和高频易错点一次讲透，文末还附本周周测试题。
相似三角形的性质，一条比一条重要
一、相似三角形的五条性质总览
相似三角形的性质是在判定之后学习的重点。判定解决的是两个三角形为什么相似，性质解决的是两个相似三角形之间有哪些数量关系。把性质记牢了，做题时才能快速列比例式。
相似三角形有五条核心性质，按从基本到推广的顺序排列：第一，对应角相等；第二，对应边成比例，比值就是相似比；第三，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；第四，周长比等于相似比；第五，面积比等于相似比的平方。
这五条性质中，前两条是定义本身，后三条是推论。后三条是考试中最常考的，尤其是面积比等于相似比的平方，几乎每次考试都会出现。
一个记忆方法：所有线性的量（边、高、中线、角平分线、周长）的比都等于相似比，因为它们都是一维的；只有面积是二维的，所以比等于相似比的平方。记住一维和二维的区别，就不会搞混。
二、对应线段比等于相似比：高、中线、角平分线
相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。这三条性质可以统一理解：只要是对应线段，它们的比就等于相似比。
为什么对应高的比等于相似比？因为两个相似三角形，对应边上的高和对应边组成的两个小三角形也相似（两个角分别相等），所以高的比等于对应边的比，也就是相似比。中线和角平分线同理，都可以用小三角形相似来证明。
典型例题：两个相似三角形的相似比是2比3，较小三角形的一条高是4厘米，求较大三角形对应高的长度。因为对应高的比等于相似比，所以较小高比较大高等于2比3。设较大高为x，4比x等于2比3，解得x等于6。所以较大三角形的对应高是6厘米。
这里要注意相似比的顺序。题目问的是较小三角形对较大三角形的相似比是2比3，还是较大对较小？做题时先看清楚谁比谁，再列比例式。如果搞反了，结果就会差一个倒数。
测高测距，相似三角形是最实用的工具
三、周长比与面积比：一个线性一个平方
相似三角形的周长比等于相似比，这很好理解，因为周长是三条边的和，每条边的比都是相似比，加起来的比当然也是相似比。
面积比等于相似比的平方，这是最容易出错的一条。为什么面积比要平方？因为三角形面积等于二分之一底乘高，底和高都按相似比缩放，所以面积按相似比的平方缩放。比如相似比是2比3，底放大到原来的二分之三倍，高也放大到原来的二分之三倍，面积就放大到原来的四分之九倍，也就是相似比的平方。
典型例题：两个相似三角形的相似比是2比3，较小三角形的面积是8平方厘米，求较大三角形的面积。因为面积比等于相似比的平方，所以较小面积比较大面积等于4比9。设较大面积为x，8比x等于4比9，解得x等于18。所以较大三角形的面积是18平方厘米。
反过来，如果已知面积比，也可以求相似比。比如两个相似三角形的面积比是1比4，那么相似比就是1比2，因为1比2的平方是1比4。做题时要注意双向转换：相似比求面积比要平方，面积比求相似比要开方。
四、相似三角形的实际应用：测高测距
相似三角形在实际生活中有很多应用，最常见的是测量不能直接测量的高度和距离。
测高度的问题：利用同一时刻物高与影长成正比。比如一根1.5米高的标杆影长是2米，旁边一棵树的影长是10米，求树高。标杆和树都垂直于地面，太阳光线是平行的，所以标杆和影长组成的三角形与树和影长组成的三角形相似。标杆高比树高等于标杆影长比树影长，1.5比树高等于2比10，解得树高等于7.5米。
测距离的问题：利用构造相似三角形来测量河宽。比如在河对岸选一个目标点A，在河这边选点B，使AB垂直于河岸，在AB上选点O，使BO等于AO的某一个倍数，然后在垂直于AB的方向上选点C，使C、O、A三点在一条直线上，测量BC的长度，就可以利用相似三角形求出AB的长度。
解决实际应用问题的关键步骤：第一，把实际问题抽象成几何图形，找出相似三角形；第二，根据题意列出比例式；第三，解方程求出未知量。最容易出错的是对应关系搞错，把哪条边对应哪条边搞反了。
五、高频易错点TOP3，每条都有孩子踩过
第一，面积比忘记平方。这是相似三角形中排名第一的计算错误。相似比是2比3，面积比直接写成2比3，忘记平方成4比9。记住：长度比是相似比，面积比是相似比的平方。做题时看到面积就条件反射地想一下要不要平方。
第二，相似比顺序搞反。相似比有顺序，三角形ABC对三角形DEF的相似比和DEF对ABC的相似比互为倒数。题目中如果问的是大三角形对小三角形的相似比，和小三角形对大三角形的相似比是不一样的。做题时先写清楚谁比谁，再列比例式。
第三，实际应用中对应关系搞错。测高测距问题中，把物高和影长的对应关系搞反了，或者把三角形的对应边找错了。解决办法是画图，把已知条件标在图上，再根据相似关系找对应边。
写在最后
相似三角形的性质是初三几何的重点，也是中考必考内容。把五条性质记牢，把面积比平方这个坑避开，把实际应用的模型搞清楚，相似三角形就不再是难题。下周我们将学习锐角三角函数，那是相似三角形的进一步应用，也是初三几何的另一个重点。
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