把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
ma + mb + mc ⟶ m(a + b + c)
左边是和差，右边是乘积
因式分解与整式乘法是互逆的变形：
判断标准结果必须是乘积；每个因式必须是整式；变形前后必须恒等。
二、方法一：提公因式法
ma + mb + mc = m(a + b + c)
公因式的确定
| 要素 | 取法 | 例：6a²b − 9ab² + 3ab |
|---|---|---|
| 公因式 | 3ab |
分解因式：6a²b − 9ab² + 3ab
公因式为 3ab，逐项除以 3ab：
6a²b ÷ 3ab = 2a −9ab² ÷ 3ab = −3b 3ab ÷ 3ab = 1
原式 = 3ab(2a − 3b + 1)
易错第三项提出公因式后商是 1，这个「1」不能漏。
分解因式：−4x³y + 8x²y² − 4xy³
提出 −4xy（含负号，使括号内首项为正）：
原式 = −4xy(x² − 2xy + y²)
括号内是完全平方式：
原式 = −4xy(x − y)²
三、方法二：公式法
1. 平方差公式
a² − b² = (a + b)(a − b)
两项 · 都能写成平方 · 中间是减号
2. 完全平方公式
a² + 2ab + b² = (a + b)²a² − 2ab + b² = (a − b)²
三项 · 首尾是平方 · 中间是首尾乘积的 2 倍
3. 例题
分解因式：16m⁴ − 81n⁴
原式 = (4m²)² − (9n²)²
= (4m² + 9n²)(4m² − 9n²)
括号内 4m² − 9n²继续用平方差：
原式 = (4m² + 9n²)(2m + 3n)(2m − 3n)
(1) x² + 6x + 9 (2) 9a² − 12ab + 4b²
(1)首项 x²，尾项 3²，中间 2·x·3 = 6x：
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
(2)首项 (3a)²，尾项 (2b)²，中间 −2·3a·2b = −12ab：
9a² − 12ab + 4b² = (3a − 2b)²
四、方法三：十字相乘法
十字相乘法用于分解二次三项式，是八年级的核心方法。
1. 二次项系数为 1：x² + px + q
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
一次项系数 = 两数之和 常数项 = 两数之积
把 x² + px + q中的 x²拆成 x·x，把常数项 q拆成 a·b，画成十字：
操作步骤
① 拆二次项：x² = x · x，竖着写在左边两行；
② 拆常数项：q = a · b，竖着写在右边两行；
③ 交叉相乘再相加，看是否等于一次项系数 p；
④ 若相等，则横着读出结果：(x + a)(x + b)。
2. 符号规律（一次项系数为 1 时）
| 常数项 q | 一次项 p | a、b 的符号 | 举例 |
|---|---|---|---|
3. 例题
分解因式：x² − 5x + 6
常数项 6 > 0，两数同号；一次项 −5 < 0，两数同为负。
找两个负数，积为 6，和为 −5：−2与 −3。
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
分解因式：x² − 2x − 15
常数项 −15 < 0，两数异号；一次项 −2 < 0，负数绝对值大。
找两数，积为 −15，和为 −2：−5与 3。
x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3)
4. 二次项系数不为 1：ax² + bx + c
(a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = a₁a₂x² + (a₁b₂ + a₂b₁)x + b₁b₂
二次项拆成 a₁a₂，常数项拆成 b₁b₂，交叉相乘再相加凑出一次项
分解因式：2x² + 7x + 3
二次项拆成 2x · x，常数项拆成 1 · 3。试画十字：
2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)
验证：(2x+1)(x+3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3 ✓
分解因式：6x² − 7x − 3
二次项拆成 3x · 2x，常数项因符号为负，拆成 1 · (−3)。
6x² − 7x − 3 = (3x + 1)(2x − 3)
验证：(3x+1)(2x−3) = 6x² − 9x + 2x − 3 = 6x² − 7x − 3 ✓
难点十字相乘有时要试几次。技巧：先固定一个拆法，试算交叉和；不行就换另一组拆法。常数项的因数分解方式有限，穷举并不费时。
五、方法四：分组分解法
当多项式有四项或更多时，先分组，各组分别分解后再提取新的公因式。
分解因式：ax + ay + bx + by
原式 = (ax + ay) + (bx + by)
= a(x + y) + b(x + y)
原式 = (x + y)(a + b)
分解因式：x² − y² + x − y
原式 = (x² − y²) + (x − y)
= (x + y)(x − y) + (x − y)
把 (x − y)作为公因式提取：
原式 = (x − y)(x + y + 1)
分解因式：a² − 2a + 1 − b²
原式 = (a² − 2a + 1) − b²
= (a − 1)² − b²
把 (a − 1) 看成整体，用平方差公式：
原式 = (a − 1 + b)(a − 1 − b)
六、一般步骤
| 顺序 | 方法 | 适用特征 | 操作要点 |
|---|---|---|---|
| 提 | |||
| 套 | |||
| 十字 | |||
| 分组 |
口诀一提二套三十字，四项以上要分组；分解必须到彻底，结果一定写乘积。
七、综合例题
分解因式：3x³ − 12x
原式 = 3x(x² − 4)
原式 = 3x(x + 2)(x − 2)
分解因式：(x + y)² − 4(x + y) + 4
令 t = x + y，则原式为 t² − 4t + 4 = (t − 2)²。
原式 = (x + y − 2)²
已知 a + b = 3，ab = 2，求 a³b + 2a²b² + ab³的值。
原式 = ab(a² + 2ab + b²) = ab(a + b)²
原式 = 2 × 3² = 18
求证：当 n 为整数时，n³ − n一定能被 6 整除。
n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1)·n·(n + 1)
这是三个连续整数的乘积。其中至少有一个偶数，所以乘积能被 2 整除；恰好有一个是 3 的倍数，所以乘积能被 3 整除。
因为 2 与 3 互质，所以乘积一定能被 6 整除，证毕。
一个长方形的长比宽多 3 cm，面积是 40 cm²，求它的长和宽。
设宽为 x cm，则长为 (x + 3) cm：
x(x + 3) = 40 ⟹ x² + 3x − 40 = 0
对左边十字相乘（积 −40，和 3：8 与 −5）：
(x + 8)(x − 5) = 0
所以 x = −8（舍去）或 x = 5。故宽为 5 cm，长为 8 cm。
已知 a² + b² − 6a − 8b + 25 = 0，求 a + b的值。
把 25 拆成 9 + 16：
(a² − 6a + 9) + (b² − 8b + 16) = 0
(a − 3)² + (b − 4)² = 0
两个非负数的和为 0，所以每一项都为 0：a = 3，b = 4。
a + b = 7
八、易错点归纳
1. 分解不彻底。x⁴ − 1应分解到 (x² + 1)(x + 1)(x − 1)，不能停在 (x² + 1)(x² − 1)。
2. 提公因式后漏写 1。3ab提出 3ab后，商应为 1。
3. 符号出错。提出负号后，括号内每一项都要变号。
4. 平方差公式误用。x² + 9中间是加号，在有理数范围内不能分解。
5. 完全平方公式漏 2。中间项应是首尾乘积的 2 倍。
6. 结果不写成乘积。必须写成整式的积。
7. 十字相乘符号判断失误。常数项正 → 两数同号；常数项负 → 两数异号。
九、随堂练习
基础题（每题 5 分，共 30 分）
1. 12a²b − 18ab² 2. x² − 16 3. m² + 10m + 25
4. x² − 7x + 12 5. 2x² + 5x + 2 6. ax − ay + bx − by
提高题（每题 10 分，共 40 分）
7. 2x³ − 8x 8. (a + b)² − 9
9. x² − 4y² + x + 2y 10. 已知 x + y = 5，xy = 6，求 x³y + 2x²y² + xy³。
挑战题（30 分）
11. 已知 x² + y² − 4x + 6y + 13 = 0，求 x^y的值。
参考答案
1. 6ab(2a − 3b) 2. (x + 4)(x − 4) 3. (m + 5)²
4. (x − 3)(x − 4) 5. (2x + 1)(x + 2) 6. (a + b)(x − y)
7. 2x(x + 2)(x − 2) 8. (a + b + 3)(a + b − 3)
9. (x + 2y)(x − 2y + 1) 10. xy(x + y)² = 6 × 25 = 150
11. (x − 2)² + (y + 3)² = 0，得 x = 2，y = −3，所以 x^y = 2⁻³ = 1/8
🌈写在最后：
因式分解，上承整式乘法，下接分式运算、一元二次方程、二次函数。但也不必紧张，它不靠天赋，靠的是方法和熟练度。孩子常见的卡点就几个：公因式提不干净、分解到一半就停、符号出错、十字相乘试两次就烦。这些问题，练一练都能解决。
