一元二次方程的整数根问题是高频考点，也是很多同学的易错的题型。今天这篇文章，一次性讲透一元二次方程整数根的解题逻辑、必考方法、经典例案，建议反复收藏阅读。
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什么是整数根
简单来说，一元二次方程的整数根，就是指这个方程的解（也叫“根”）是整数（正整数、负整数、0均可），求参数取值、参数整数解、方程的根，这类题型就是整数根问题。
比如方程 x² - 3x + 2 = 0，它的解是 x=1 和 x=2，因为1和2都是整数，所以这个方程就有两个整数根。
但在实际做题时，特别是方程里还带着像 m、k 这样的未知参数时，问题就会变得复杂。下面梳理一下解决这类问题的核心思路和常用方法。
02
解一元二次方程整数根问题的常用方法及经典案例
1.因式分解法
利用因式分解法解方程，得到方程的解为含参数的分式，
①若分子不含参数，可直接根据整除性质进行分类讨论，求出参数；
经典案例：若关于x的方程kx²-（k＋1）x＋1＝0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（ )
A.1个 B.2个 C.3 D.4个
答案解析:答案选C
当k=0时，x=1,符合题意。
当k≠0时，kx²-（k＋1）x＋1＝0
因式分解得（x-1）（kx-1）=0
解得，x=1或
，由于根为整数，k也是整数，所以k=±1
提示：题目中说的是“方程”，解整数根问题，要分类讨论。看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0.
②若分子含参，可用分离常数法进行变形后再讨论求参.
经典案例：若一元二次方程ax²-2x-（a＋2）＝0（a为非0整数）两根均为整数，求整数a。
原方程可以因式分解为（ax-a-2)（x＋1）=0
解得
.
由于两根均为整数，所以
为整数，则a＝±1或±2.
提示：适合一次式，结构简单的方程，避开复杂的判别式计算。
2.判别式法
①若一元二次方程有整数根，则Δ≥0，再结合题干中参数的其他限制条件，求出参数范围后进行枚举.
经典案例：已知关于x的一元二次方程x²-4x＋2m-1＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围.
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值.
方法一：
答案解析:第一问Δ≥0，解得
第二问由第一问得，m正整数
当m＝1时，x²-4x＋3＝0，
=1，
=3
当m＝2时，x²-4x＋1＝0，
.
这道题我们再用第二种方法做一下
②若一元二次方程有整数根，则Δ为完全平方数，结合求根公式
，令分子是分母的整数倍.
方法二：
提示：同时满足两个条件：①Δ为完全平方数②分子是分母的整数倍
3.韦达定理法
经典案例：已知关于x的一元二次方程x²-4x-2m＋5＝0，如果该方程的两个实数根都是符号相同的整数，则整数m的值为______.
答案解析:
因为方程的两个实数根都是符号相同的整数，
①Δ=16+8m-20≥0,所以m≥0.5
②
，所以m<2.5
所以0.5≤m<2.5，所以整数m=1或2
当m＝1时，x²-4x＋3＝0，
=1，
=3
当m＝2时，x²-4x＋1＝0，
（舍）
所以m=1。
03
归纳总结
一元二次方程整数根问题，直接套用这套固定流程，稳拿满分：
定系数 → 算判别式 → 设平方数 → 因式枚举 → 验证整除 → 最终检验
抓准「判别式为完全平方数」「根整除」两个核心，就能轻松解题！
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