压轴题拆解 · 2025 新高考I卷
2025 新高考I卷 T18：椭圆上的"轨迹圆"与最值
—— 一道把"距离最值"化归成"圆到椭圆最大距离"的多想少算好题
题目
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1\ (a>b>0)，A 为下顶点，B 为右顶点，|AB|=√10，且椭圆离心率 e=2√23。
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 已知动点 P 不在 y 轴上，点 R 在射线 AP 上，且满足 |AR|·|AP|=3。
(i) 设 P(m,n)，求点 R 的坐标（用 m,n 表示）；
(ii) 设 O 为坐标原点，Q 为 C 上的动点，直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍，求 |PQ| 的最大值。
答案速览
(1) 椭圆 C:x29+y2=1（a2=9,\ b2=1,\ c=2√2）。
(2)(i) R(3mm2+(n+1)2,\ 3(n+1)m2+(n+1)2-1)。
(2)(ii) 由斜率条件得 P 的轨迹为圆 x2+(y+4)2=18（M(0,-4)，半径 3√2）；|PQ|max=3√2+3√3。
图1 椭圆与两顶点 A、B（题(1)：由 |AB| 与 e 解出 a²、b²）
一、(1) 求椭圆方程——四个量、两个方程，基础分要稳拿
已知 |AB|=√a2+b2=√10，故 a2+b2=10。又离心率 e=ca=2√23，平方得 c2a2=89。而 c2=a2-b2，代入：a2-b2a2=89⇒ 1-b2a2=89⇒ a2=9b2。
联立 a2+b2=10 与 a2=9b2：9b2+b2=10⇒ b2=1,\ a2=9。于是椭圆方程为 x29+y2=1。下顶点 A(0,-1)、右顶点 B(3,0)，正好 |AB|=√9+1=√10 吻合。
二、(2)(i) 求 R 坐标——"向量数乘"比"设点列方程组"快一倍
关键：R 在射线AP 上，所以 R=A+t(P-A)，其中 t≥0。|AR|=t|AP|，代入条件 |AR|·|AP|=3 得 t|AP|2=3，即 t=3|AP|2。
而 |AP|2=m2+(n+1)2（因为 A(0,-1)），于是 t=3m2+(n+1)2。代回：
R=A+t(P-A)=(3mm2+(n+1)2,\ -1+3(n+1)m2+(n+1)2)。这就是答案——分子 3(n+1) 要减 1，是因为纵坐标起点是 -1，不是原点。
💡 多想少算：若设 R(x,y) 再列"斜率相等 + 距离乘积"两个方程是能算，但会出现 x,y,m,n 四个变量纠缠；直接用向量数乘把 t 一锤定音，整体清爽。本题官方解析也首推此法。
三、(2)(ii) 轨迹 + 最值——先证 P 在圆上，再拆三角不等式
由 (i) 知 R 坐标，写斜率：kOP=nm，kOR=yRxR。条件 kOR=3kOP 即
-1+3(n+1)m2+(n+1)23mm2+(n+1)2=3·nm。分子分母同乘 m2+(n+1)2 化简得 -(m2+(n+1)2)+3(n+1)=9n，整理后
m2+(n+4)2=18。这是以 M(0,-4) 为圆心、半径 r=3√2 的圆（需去掉与 y 轴的两个交点，因为题设 P 不在 y 轴上）。
现在求 |PQ|max：P 在圆上 ⇒ |PM|=r=3√2（恒定）；Q 在椭圆上。由三角不等式 |PQ|≤|PM|+|MQ|=3√2+|MQ|，等号当 M 在线段 PQ 上时取到。问题退化成：求椭圆上点到定点 M 的最大距离。
设 Q(3cosθ,sinθ)，则 |MQ|2=(3cosθ)2+(sinθ+4)2=9cos2θ+sin2θ+8sinθ+16。用 cos2θ=1-sin2θ 化单变量：|MQ|2=25+8sinθ-8sin2θ。
令 s=sinθ∈[-1,1]，f(s)=25+8s-8s2 是开口向下的二次函数，顶点在 s=12 处取最大：f(12)=25+4-2=27。故 |MQ|max=√27=3√3，从而 |PQ|max=3√2+3√3。
取等点：Q(3√32,12)，P=M-r·(单位向量 M→ Q)=(-3√22,\ -4-3√62)，此时 P,M,Q 共线且 M 在中间，等号成立。
图2 P 的轨迹圆（橙）与椭圆（蓝）；最优时 P、M、Q 共线，|PQ|=|PM|+|MQ|=3√2+3√3
四、方法归纳总结（解析几何"轨迹+最值"五条通法）
✅ 方法归纳总结
① 基础方程稳拿分：椭圆四量 a,b,c,e 中，|AB|（或焦距、长轴）给一个 a2,b2 关系，e 给 c/a 关系，联立必解。这是压轴题的"送分前哨"。
② 向量数乘优于设点："点在射线上"直接写 R=A+t(P-A) 由长度条件定 t，"多想少算"；硬设 R(x,y) 列方程组会被四变量纠缠拖累。
③ 斜率成定比 → 化轨迹圆：把 kOR=3kOP 写成等式并化简，往往得到定点定圆（本题）或定直线。凡见"到两定点连线斜率成定比"，先动笔化简隐式方程。
④ 最值先拆三角不等式：一动点在圆上（到圆心距离恒定），先用 |PQ|≤|PM|+|MQ| 把双动点拆成"定点到椭圆的最大距离"，再单独攻坚。
⑤ 椭圆最值别套圆公式：|MQ|max 不是"中心到 M 的距离 + 长半轴"，必须用参数方程化成一元二次 f(s)=25+8s-8s2 求顶点，s=sinθ 在 [-1,1] 内取 12。
⚠️ 易错提醒
坑 1 · 把"射线 AP"当"直线 AP"：射线要求 t≥0 且 R、P 在 A 同侧；向量数乘天然保证，若设 R(x,y) 不加约束可能解出反向的非法点。
坑 2 · 漏掉 m≠0 / P 不在 y 轴：(i) 的分母有 m，(ii) 的 kOP=n/m 要求 m≠0；轨迹圆与 y 轴交点需剔除，虽不影响本问最大值，但要显严谨。
坑 3 · (ii) 化简轨迹符号错：yR 的分子是 -1+3(n+1)·s，常有人漏掉起点 -1 或把 (n+1) 误写成 n，得到错圆心。
坑 4 · 直接对 |PQ| 硬算：若不舍成"圆 + 椭圆双动点距离"，会陷入含两参数的大式子、越算越乱；应先证 P 在圆上再拆三角不等式。
坑 5 · max|MQ| 套圆思路：椭圆不是圆，|MQ|max≠|OM|+a；必须参数化求 f(s) 顶点，注意顶点 s=12∈[-1,1] 合法。
坑 6 · 忘了检验取等：|PQ|≤|PM|+|MQ| 取等需 M 在线段 PQ 上（P、Q 在 M 两侧）；画图或用共线验证，否则"最大值"可能取不到。
金句
解析几何的压轴，拼的往往不是算力而是眼力——一眼看出 P 的轨迹是个圆，最值就化归成初中级的"圆外一点到椭圆的最远距离"。多想一步，少算十行。
往期推荐：《2025 北京卷 T16 解三角形》——同样"先判存在再计算"的题感；《2026 新高考II卷 T18 解析几何》也是轨迹类大题，可对照阅读。
