中考压轴题第19题:一道题同时考察了全等、相似、一次和二次函数

湖南这道 2025 压轴题，抛物线上塞了三个动点 、、，又通过  轴、 轴、 轴把几何关系“拉”到线段  上。第(2)问把  这类几何大小比较翻译成代数不等式；第(3)问则先用全等把角度条件转成 ，再得到  点坐标，最后把  化为关于  的二次函数求最值。整道题的核心就是把几何语言翻译成坐标和函数，不断转化，有一定难度。

题源：2025·湖南中考 

类型：二次函数 + 动点坐标表示 + 不等式证明 + 全等三角形 + 一次函数 + 二次函数最值 

难度：⭐⭐⭐⭐⭐ 

总结：(3)先求直线  得 ，证明  得 ，结合  推出 ，再证  得 ，最后表示 、，把  化为关于  的二次函数，顶点取最大值 

原题：

一、题眼总览

答案：(1) ；(2)① 证明见解析；② 证明见解析；(3) 当  时， 取最大值 。

二、第(1)问：求二次函数表达式

🔑 题眼

抛物线  过点 。

💭 思路

把  代入直接求 ，再化成一般式。

✅ 计算

，得 。

故 。

三、第(2)问：比较 、、 的大小

🔑 题眼

 轴交  于 ， 轴交  于 ， 轴交  于 ；而 ，所以 、、。这里的 、、 都是纵坐标之差。

💭 思路

先写出 ，，，再把不等式移项、因式分解，利用  的符号定出和的范围。

✅ 计算

。

同理 ，。

① 当  时：

移项得 

因式分解得 

因为 ，所以 ，于是 

故 。

② 当  时：

因为 ，所以 ，于是 

故 。

四、第(3)问：求  的最大值

🔑 题眼

 这个角度条件不是让你去硬算三角函数，而是要用全等把它翻译成 。

💭 思路

1. 先求直线  与  轴的交点 ，发现 ，于是 ，为全等创造条件。
2. 证明 ，得到 。
3. 由  推出 ，进而 。
4. 证明 ，得到 。
5. 表示 、 坐标，求出  和 ，把  化为关于  的二次函数求最值。

✅ 计算

设 ，，。

直线  的斜率：。

所以 。

令  得 ，于是 。

又 （ 到 、 的距离相等），故 （SSS），所以 。

由  得 ，于是 。

因为 ，，，所以 （AAS），得 。

因此 ，。

由 ，，得 ，。

直线  的解析式：，令  得 。

直线  的解析式：，令  得 。

（因为 $0

所以 。

配方得 。

当  时， 取最大值 。

⚠️ 易错

•  不是题目直接给的，而是由角度相等 + 全等推出来的，这是第(3)问最关键的一步。
• 、 在  轴上， 是纵坐标之差的绝对值，注意上下位置关系。